Aloha :)
Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt:$$\left(1+\frac{x}{2}\right)^2=1+x+\frac{x^2}{4}\ge1+x$$Wiederholte Anwendung dieser Ungleichung liefert die Kette:$$1+x\le\left(1+\frac{x}{2}\right)^2\le\left(\left(1+\frac{x/2}{2}\right)^2\right)^2=\left(1+\frac{x}{4}\right)^4\le\left(\left(1+\frac{x/4}{2}\right)^2\right)^4=\left(1+\frac{x}{8}\right)^8\le\cdots$$Verallgemeinert heißt das:$$1+x\le\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{x}{2^k}\right)^{2^k}=e^x$$Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt also: \(1+x\le e^x\).
Die Abschätzung nach oben folgt direkt aus der erweiterten Bernoulli-Ungleichung für reelle Exponenten:$$e^x\le3^x=(1+2)^x\le1+2x\quad\text{falls }x\in[0;1]$$Während die Abschätzung nach unten für alle \(x\in\mathbb R\) gilt, wurde die Abschätzung nach oben nur für \(x\in[0;1]\) gezeigt. Zusammengefasst haben wir also:$$1+x\le e^x\le1+2x\quad\text{für }x\in[0;1]$$
