Problem beim Wurzelfreimachen des Nenners von (5√3 + 3√5) / (3√5 - 5√3)

Question

$$\frac { 5\sqrt { 3 } +\quad 3\sqrt { 5 }  }{ 3\sqrt { 5 } -\quad 5\sqrt { 3 }  } $$

Wie kriege ich die Wurzel da unten weg, ich habe gelernt, dass mann den Nenner wurzelfrei macht, wenn mann den Bruch mit der Wurzel aus dem Nenner multipliziert. Aber nun habe ich ja vor der Wurzel ja noch eine Zahl davor resp. sogar ein plus oder minus, somit kann ich ja nicht kürzen innerhalb des Bruches.

Was kann ich den nun tun, damit dieser Bruch vereinfacht werden kann und ohne nerfige Wurzeln im Nenner da steht?

Answer 1

(5√3 + 3√5) / (3√5 - 5√3)
                         |analog zu teilweisem Wurzelziehen.

                            Vorfaktoren quadrieren und unter die Wurzel nehmen.

=(√75 + √45) / (√45 - √75)  
.                            | oben und unten mal √45 + √75

= (√45 + √75)^2 / (45 - 75)  
.                             |Binomische Formel (oben)

= (45 + 2√(45*75) + 75) / (-30)

= ( 120 + 2*3*5√15) / (-30)

             |kürzen mit 30

=(4 + √15)/(-1)

= -4 - √15

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%285√3+%2B+3√5%29+%2F+%283√5+-+5√3%29

Answer 2

(a - b) / (a + b)
= (a - b)(a - b) / ((a + b)(a - b))
= (a^2 - 2ab + b^2) / (a^2 - b^2)

(√7 - √5)/(√7 + √5) = (7 - 2*√7*√5 + 5) / (7 - 5) = (12 - 2·√35) / 2 = 6 - √35

Answer 3

Hallo thaichi,

 

man vermutet ja (siehe Kommentare), dass der Bruch so aussehen soll:

(5 * √3 + 3 * √5) / (3 * √5 - 5 * √3)

 

(a + b) / (b - a) =

(a + b) * (a + b) / [(b - a) * (b + a)] =

(a + b)² / (b² - a²)

 

Setzen wir ein:

(5 * √3 + 3 * √5)² / (9 * 5 - 25 * 3) =

(25 * 3 + 30 * √15 + 9 * 5) / (-30) =

(75 + 45 + 30 * √15) / (-30) =

(120 + 30 * √15) / (-30) =

- 4 - √15 ≈ - 7,873

 

Probe:

Zähler ≈ 15,3684579703

Nenner ≈ -1,9520501053

Zähler / Nenner ≈ -7,8729833464

 

Besten Gruß

Comments

vielen Dank

 

jedoch ist mir nicht ganz klar, wie man beim zweiten Schritt auf ...25 * 3 + 30 * √15 + 9 * 5)... kommt

---

Gern geschehen!

 

Zu Deiner Frage:

(5 * √3 + 3 * √5)²

Hier wende ich die erste Binomische Formel an:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

a = 5 * √3, also a² = (5 * √3)² = 5² * (√3)² = 25 * 3

2ab = 2 * (5 * √3) * (3 * √5) = 2 * 5 * 3 * √3 * √5 = 30 * √(3 * 5) = 30 * √15

b = 3 * √5, also b² = (3 * √5)² = 9 * 5 = 45

 

Jetzt klarer?

---

Ach soo du hast das bereits zusammengefasst gehabt!!

 

Ja, klaro nun wird mir einiges klarer !

 

Danke vielmals.

---

Freut mich sehr, wenn ich etwas helfen konnte!