Aloha :)
Der_Mathecoach hat dir ja schon die Kontroll-Lösung von Woframalpha.com kopiert. Hier noch als Ergänzung dazu eine mögliche Rechnung. Du sollst die Funktion f unter der Nebenbedingung g optimieren:
f(x,y)=x2−2y2+2x;g(x,y)=(x−1)2+2y2−9=0Nach Lagrange müssen in den gesuchten Minima bzw. Maxima die beiden Gradienten linear abhängig voneinander sein, das heißt, es gibt einen Faktor λ, den sog. Lagrange-Multiplikatior, sodass:gradf=λ⋅gradgDa wir hier den Lagrange-Multiplikator λ aber gar nicht angeben müssen, nutzen wir aus, dass die Determinante genau dann null ist, wenn die Spalten- oder Zeilenvektoren linear abhängig sind:0=!∣∣∣∣∣2x+2−4y2(x−1)4y∣∣∣∣∣=(2x+2)4y+2(x−1)4y=(2x+2+2x−2)4y=16xyDiese Bedingung ist erfüllt, wenn x=0 oder y=0 ist.
1. Fall: x=0
Wir setzen x=0 in die Nebenbedinung ein:0=(0−1)2+2y2−9=2y2+8⇔y2=4⇔y=±2
2. Fall: y=0
Wir setzen y=0 in die Nebenbedinung ein:0=(x−1)2+2⋅02−9⇔(x−1)2=9⇔x=1±3
Damit haben wir die vier gesuchten kritischen Punkte gefunden:(0;−2);(0;2);(−2;0);(4;0)