Lagrange-Verfahren liefert 4 Punkte auf dem Rand von E, wie berechnet man diese?

Question

Sei f: ℝ² → ℝ mit f(x,y)=x² - 2y² + 2x. Betrachten wir die (ausgefüllte) Ellipse

E= {(x,y) ∈ ℝ² ι (x-1)² + 2y² -9 ≤0}.

Das Lagrange-Verfahren liefert die 4 Punkte x_1,,x_2,x₃,x₄ auf dem Rand von E. Berechnen sie diese Punkte.

Wie bekomme ich diese 4 Punkte raus ?

Answer 1

1. Stelle die Lagrange-Funktion auf.

2. Bilde die partiellen Ableitungen und setze sie gleich Null.

3. Löse das entstehende Gleichungssystem.

Hier eine Kontroll-Lösung von Wolframalpha

Comments

Ah oki, danke dir !

Also wär

x1= (4,0)

x2=(0,-2)

x3=(-2,0)

x4=(0,-2)

wäre die Reihenfolge so richtig, da ja im 1.Quadrant beide Werte positiv sind, 2 negativ und positiv,3.negativ,4.wieder beides ?

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Die Reihenfolge in der die 4 Werte notiert werden, ist relativ egal.

Aber das bei dir x2 = x4 gilt, geht natürlich nicht.

Answer 2

Aloha :)

Der_Mathecoach hat dir ja schon die Kontroll-Lösung von Woframalpha.com kopiert. Hier noch als Ergänzung dazu eine mögliche Rechnung. Du sollst die Funktion \(f\) unter der Nebenbedingung \(g\) optimieren:

$$f(x,y)=x^2-2y^2+2x\quad;\quad g(x,y)=(x-1)^2+2y^2-9=0$$Nach Lagrange müssen in den gesuchten Minima bzw. Maxima die beiden Gradienten linear abhängig voneinander sein, das heißt, es gibt einen Faktor \(\lambda\), den sog. Lagrange-Multiplikatior, sodass:$$\operatorname{grad}f=\lambda\cdot\operatorname{grad}g$$Da wir hier den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) aber gar nicht angeben müssen, nutzen wir aus, dass die Determinante genau dann null ist, wenn die Spalten- oder Zeilenvektoren linear abhängig sind:$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}2x+2 & 2(x-1)\\-4y & 4y\end{vmatrix}=(2x+2)4y+2(x-1)4y=(2x+2+2x-2)4y=16xy$$Diese Bedingung ist erfüllt, wenn \(x=0\) oder \(y=0\) ist.

1. Fall: \(x=0\)

Wir setzen \(x=0\) in die Nebenbedinung ein:$$0=(0-1)^2+2y^2-9=2y^2+8\quad\Leftrightarrow\quad y^2=4\quad\Leftrightarrow\quad y=\pm2$$

2. Fall: \(y=0\)

Wir setzen \(y=0\) in die Nebenbedinung ein:$$0=(x-1)^2+2\cdot0^2-9\quad\Leftrightarrow\quad (x-1)^2=9\quad\Leftrightarrow\quad x=1\pm3$$

Damit haben wir die vier gesuchten kritischen Punkte gefunden:$$(0;-2)\quad;\quad(0;2)\quad;\quad(-2;0)\quad;\quad(4;0)$$