Stationären Punkte mit Nebenbedingung und Lagrange

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die stationären Punkte von \(\ K(x,y)=x^2+2y^2 \) unter der Nebenbedingung \(\ x+y=5 \) unter zu Hilfenahme der Lagrangefunktion.

Problem/Ansatz:

Hallo.

Ich brauche bei der Lösung der Aufgabe den letzten Denkanstoß. Bisher habe ich die Funktion der Nebenbedingung und die Ableitungen aufgestellt. Bin ich bis hierhin auf dem richtigen Pfad?

\(\ g(x,y)=x+y-5 \)

\(\ L(x,y,\lambda)=x^2+2y^2+\lambda(x+y-5) \)

\(\ Lx = 2x+\lambda = 0 \)

\(\ Ly = 4y+\lambda = 0 \)

\(\ L\lambda = x+y-5 = 0 \)

Allerdings habe ich gerade ein Brett vor dem Kopf und weiß nicht, wie ich jetzt auf die stationären Punkte komme.

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen eine Funktion \(K\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g\) optimieren:$$K(x;y)=x^2+2y^2\quad;\quad g(x;y)=x+y=5$$

Durch die Lagrange-Funktion wird die eigentliche Idee von Lagrange verdeckt. In einem stationären Punkt muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Das bedeutet hier:$$\operatorname{grad}K(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2x}{4y}=\lambda\binom{1}{1}$$Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) loszuwerden, dividieren wir die Koordinatengleichungen:$$\frac{2x}{4y}=\frac{\lambda\cdot1}{\lambda\cdot1}=1\implies 2x=4y\implies x=2y$$

Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$5=x+y=2y+y=3y\implies y=\frac53\stackrel{(x=2y)}{\implies}x=\frac{10}{3}$$

In dieser Situation hier gibt es also nur einen kritischen Punkt:\(\quad K\left(\frac{10}{3}\big|\frac{5}{3}\right)\)

Wenn du die Lagrange-Funktion nutzen musst (einige Leerer kennen es nicht anders), stelle \(L_x\) und \(L_y\) nach \(\lambda\) um:$$\lambda=-2x\quad;\quad\lambda=-4y\quad\implies\quad-2x=-4y\implies x=2y$$und verfahre wie oben beschrieben.

Answer 2

Hallo

Ly-Lx gibt den Zusammenhang zwischen x und y, die letzte Gleichung dann x und y

lul

Comments

Danke für die Antwort.

Also wenn ich das richtig verstehe, dann ist \(  x=2y \) und \(  x=\frac{5}{3} \) bzw. \(  y=\frac{10}{3} \) oder habe ich noch etwas übersehen?

Habe ich dann nur einen stationären Punkt mit \( P \begin{pmatrix} \frac{5}{3},\frac{10}{3}\end{pmatrix} \)?