Bestimmen Sie die Konstanten a und b , so dass

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Konstanten \( a \) und \( b \), so dass

$$ \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0 $$

Problem/Ansatz:

Ich hab alle auf dem selben Nenner gebracht und zusammengefasst

\( \frac{x^2+1-a*x*(x+1)-b*(x+1)}{x+1} \)

Dann ausmultipliziert

\( \frac{x^2+1-ax^2-ax-bx-b}{x+1} \)

Jetzt wäre es praktisch wenn a = 1 wäre, da ich dann das x^2 los werde und durch x teilen könnte, aber wie genau bestimme ich a und b an dieser stelle? Ich komme da nicht mehr weiter

Würde mich über jegliche hilfe freuen,

Liebe Grüße,

Mauerblümchen

Answer 1

\( \frac{x^2+1-ax^2-ax-bx-b}{x+1} \)

ist doch prima (Hab nicht nachgerechnet.).

Und dann a=1 hast du doch schon erkannt, da bleibt

( 1 - x - bx - b ) / (x+1)

Damit das gegen 0 geht muss das x im Zähler auch wegfallen, also

b= -1 und es bleibt 2 / (x+1) und das passt !

Kannst du auch mit Polynomdivision lösen:

(x^2 + 1 ) / (x + 1  ) = x - 1 +   2/(x+1)

und damit   x - 1  -ax - b = 0 ist muss

a= 1 und b= -1 sein.

Comments

ACH Stimmt ! Ich bin auch auf 2 / (x+1) gekommen, aber dachte das wäre falsch, da es nicht 0 ist.

Aber man setzt ja noch für x "unendlich" ein und erhält 0 :D

Answer 2

Dein Ansatz ist korrekt. Du hast richtig umgestellt. Damit das Ganze nun gegen 0 geht, musst du die größte Potenz \(x^2\) loswerden. Deshalb setzt du \(a=1\) damit \(x^2-ax^2\) sich aufhebt. Danach hast du nur noch: \(\displaystyle \frac{1-x-bx-b}{x+1}\). Jetzt muss wieder die größte Potenz von \(x\) verschwinden. In diesem Fall also \(x^1\): \(-x+x\) heben sich auf, also wählst du \(b=-1\). Jetzt bleibt übrig: \(\displaystyle \frac{2}{x+1}\) und $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{2}{x+1} \xrightarrow{x\to\infty} 0$$ geht wirklich gegen 0, weil der Nenner unendlich groß und damit der Bruch sehr klein wird!

Comments

Danke, ich Trottel bin da auch drauf gekommen aber dachte es wäre falsch, weil ich vergessen hatte limes x----> unendlich einzusetzen :D

---

Ist doch kein Problem, du hattest ja sonst alles richtig und wir konnten dir ja helfen!

Answer 3

Hallo Blümchen,
am einfachsten ist es
( x^2 + 1 ) durch die 3.binomische Formel
[ ( x +1 ) * ( x - 1 ) ] / ( x + 1 ) zu ersetzen und dann zu
kürzen
( x - 1 ) - ax - b = 0
x - 1  - ax - b = 0
Für a = 1 entfällt x, Es bleibt
- 1- b = 0
b = -1