Aufgabe 1:
Wir betrachten den Ring \( R=\mathbb{Z} \). Für die ganzen Zahlen \( \mathbb{Z} \) definieren wir das Gitter
\( M=\mathbf{Z}^{2}=\left\{\left(r_{1}, r_{2}\right) \mid r_{1}, r_{2} \in \mathbb{Z}\right\} \)
und zwei Operationen:
\( \begin{aligned} \oplus: & M \times M \rightarrow M \\ &\left(\left(r_{1}, r_{2}\right),\left(q_{1}, q_{2}\right)\right) \mapsto\left(r_{1}+q_{1}, r_{2}+q_{2}\right) \\ \odot &: M \times \mathbb{Z} \rightarrow M \\ &\left(\left(r_{1}, r_{2}\right), z\right) \mapsto\left(r_{1} z, r_{2} z\right) \end{aligned} \)
\( \left(\mathbb{Z}^{2}, \oplus, \odot\right) \) ist ein Z-Modul. Überprüfen Sie die beiden Distributivgesetze.
Hinweis: Begründen Sie alle Schritte.
Aufgabe 2:
Wir untersuchen die in der Stochastik sehr wichtige GaußFunktion. Berechnen Sie das Integral \( \int \limits_{0}^{1} e^{-x^{2}} \) numerisch durch Zerlegung in \( n=3 \) Teilintervalle mit Hilfe Riemannscher Summen.
