Finde die Funktionsgleichung mit nur zwei Extrema

Question

Aufgabe:

Finde die Funktionsgleichung mit nur 2 gegebenen Extrema; H (-2|3), T (1|-4)

Problem/Ansatz:

Wir sind gerade bei den Gleichungssystemen und haben diese Tolle Aufgabe erhalten. Ich hab mich mal rangemacht und die Grundfunktion 3. Grades abgeleitet, um da irgendwie die Nullstellen zu bekommen, die dann als weitere Punkte für ein 4x4 System genutzt werden sollten. Naja, hat nicht so geklappt wie ich es mir erhofft hatte, weshalb ich euch um Hilfe bitte.

Answer 1

Ich hab mich mal rangemacht und die Grundfunktion 3. Grades abgeleitet, um da irgendwie die Nullstellen zu bekommen.

Gar keine blöde Idee! Du kannst einen Ansatz über Linearfaktoren wählen:$$f'(x)=a(x+2)(x-1)$$ Integriere diese Funktion und erhalte:$$f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right)+C$$ Dann gibt es noch zwei Bedingungsgleichungen \(f(1)=-4\) und \(f(-2)=3\). Damit folgt:$$f(1)=-\frac{7}{6}a+C=-4  \text{ und } f(-2)=\frac{10}{3}a+C=3$$ So haben wir aus einem 4x4-System ein 2x2-System gemacht nur mit dem Werkzeug sehr elementarer Integration. Es gilt dann \(a=\frac{14}{9}\) und \(C=-\frac{59}{27}\)

Du hast dann letztlich \(f(x)=\frac{1}{27}(14x^3+21x^2-84x-59)\)

Comments

Der konservative Weg:

f'(-2)=0     => 12a - 4b + c = 0
f'(1)=0      => 3a + 2b + c = 0
f(-2)=3     => -8a + 4b - 2c + d = 3
f(1)=-4     => a + b + c + d = -4

Kannst du dieses LGS lösen?

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Ich hab es jetzt mal versucht auszurechnen, jedoch Lösungen bekommen, die nicht übereinstimmen. Falls sie kein problem damit haben, könnten sie das LGS mit dem konservativen für mich nochmal lösen?

Herzlichen Dank für ihre Hilfe.

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Okay, mein letzter Kommentar wäre dann erledigt. Hatte es doch richtig. Hatte einen einen VZ fehler drinne. Nochmals herzlichen Dank!

Answer 2

f ( x ) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f ´( x ) = 3ax^2 + 2bx + c

Angaben
H (-2|3),
T (1|-4)

f ( -2 ) = 3
f ´( -2 ) = 0
f ( 1 ) = -4
f ´ ( 1 ) = 0

Jetzt oben einsetzen und das lineare Gleichungs-
system lösen.

Zur Kontrolle
f(x) = 14/27·x^3 + 7/9·x^2 - 28/9·x - 59/27

Bei Bedarf nachfragen bis alles klar ist.

Answer 3

$$H (-2|3), T (1|-4)$$

$$f(x)=ax^3 +bx^2+cx+d$$

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c=0$$

$$3a(x+2)*(x-1)$$$$=3ax^2+3ax-6a$$

$$b=3/2a; c=-6a$$

$$f(x)=ax^3 +3/2ax^2-6ax+d$$

$$f(-2)=-8a+6a+12a+d=3$$

$$10a+d=3$$

$$f(1)=a+3/2a-6a+d=-4$$

$$-7/2a+d=-4$$

$$27/2a=7$$

$$a=14/27 ; b=21/27; c=-84/27$$

$$d=3-10a=3-140/27=59/27$$

$$f(x)=14/27x^3+21/27x^2$$$$-84/27x+59/27$$