Finde die Lösungsmenge Betragsfunktion

Question

Aufgabe:

3/(|x-2|)<2+3x

Finde die Lösungsmenge

Ich verstehe nicht, wie das mit dem Betrag gehen soll?

Das erste Intervall ist bei

-0.214<x<1.548

Aber das 2te?

Answer 1

Für x>2 lautet die Ungleichung 3/(x-2)<2+3x.

Für x<2 lautet die Ungleichung 3/(-x+2)<2+3x.

Behandle beide Fälle separat.

Answer 2

3/|x - 2| < 2 + 3·x

Fall 1: x > 2

3/(x - 2) < 2 + 3·x
3 < (2 + 3·x)·(x - 2)
3 < 3·x^2 - 4·x - 4
3·x^2 - 4·x - 7 > 0 --> x < -1 ∨ x > 7/3 --> x > 7/3

Fall 2: x < 2

3/(-(x - 2)) < 2 + 3·x
3/(2 - x) < 2 + 3·x
3 < (2 + 3·x)·(2 - x)
3 < - 3·x^2 + 4·x + 4
3·x^2 - 4·x - 1 < 0 --> 2/3 - √7/3 < x < √7/3 + 2/3