Aufgabe:
Beweisen Sie, dass es keine biholomorphe Abbildung f: A(1,2) -> C\{0} gibt. Hierbei beschreibt C die komplexen Zahlen und A(1,2) = {z € C | 1 < |z| < 2 }.
Meine Idee wäre über den Riemannschen Hebbarkeitssatz und dann mit Liouville zu argumentieren, aber dann weiß ich nicht wie ich auf einen Widerspruch komme. Ungefähr so:
Angenommen es gäbe eine Funktion f, die die oben genannten Bedingungen erfüllt. Dann ist mit f auch f^(-1) biholomorph und f^(-1): C\{0} -> A(1,2) ist beschränkt (durch den Zielbereich). Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz lässt sich die isolierte Singularität 0 von f^(-1) beheben und f^(-1) zu einer auf ganz C holomorphen Funktion g erweitern. g: C -> A(1,2) ist beschränkt und nach Liouville konstant, es existiert also ein c € C mit g(z)=c für alle z € C. Somit ist auch die Umkehrfunktiong g^(-1) konstant.
Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter. Ist mein Ansatz überhaupt richtig oder bin ich auf der falschen Fährte?
