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Aufgabe:

Beweisen Sie, dass es keine biholomorphe Abbildung f: A(1,2) -> C\{0} gibt. Hierbei beschreibt C die komplexen Zahlen und A(1,2) = {z € C | 1 < |z| < 2 }.


Meine Idee wäre über den Riemannschen Hebbarkeitssatz und dann mit Liouville zu argumentieren, aber dann weiß ich nicht wie ich auf einen Widerspruch komme. Ungefähr so:

Angenommen es gäbe eine Funktion f, die die oben genannten Bedingungen erfüllt. Dann ist mit f auch f^(-1)  biholomorph und f^(-1): C\{0} -> A(1,2) ist beschränkt (durch den Zielbereich). Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz lässt sich die isolierte Singularität 0 von f^(-1) beheben und f^(-1) zu einer auf ganz C holomorphen Funktion g erweitern. g: C -> A(1,2) ist beschränkt und nach Liouville konstant, es existiert also ein c € C mit g(z)=c für alle z € C. Somit ist auch die Umkehrfunktiong g^(-1) konstant.

Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter. Ist mein Ansatz überhaupt richtig oder bin ich auf der falschen Fährte?

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Hallo,.

wenn g konstant ist, dann ist es doch gar nicht umkehrbar. Widerspruch.

Gruß

Warum ist es dann nicht umkehrbar? Zu einer konstanten Funktion g(z)=c lässt sich doch immer eine Funktion g^(-1)(z)=1/c finden oder ist das dann für c=0 ein Widerspruch zum bereits angewandten Riemannschen Hebbarkeitssatz?

Hallo,

Du verwechselst da etwas: Die Umkehrfunktion zu eine Funktion \(g\) ist durch \(g^{-1}(g(x))=x\) charakterisiert und ist nicht zu verwechseln mit \(\frac{1}{g(x)}\). Denke zum Beispiel an die Umkehrfunktion für \(g(x)=x^2\) für positive Argumente.

Gruß

Ah, stimmt! Da stand ich wohl etwas auf dem Schlauch!

Vielen Dank für deine Hilfe! :)

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