Doppelintegralrechnung ziemlich schwer

Question

Aufgabe:

Man soll die Doppelintegrale berechnen wobei B begrenzt wird durch:  die Gerade y = x und y=x^3

$$\int \limits_{}^{}\int \limits_{B}^{}(x+y^2)dA$$

Problem/Ansatz:

Ich habe bisher keine Doppelintegrale berechnet. Kurz gesagt bin ich nun etwas ratlos.

Ich würde mich über Hilfe äußerst freuen.

Comments

Ich habe bisher keine Doppelintegrale berechnet.

Irgendwann ist immer das erste Mal.

1. Skizze machen
2. B durch eine Schraffur mit senkrechten Strichen kennzeichnen
3. Wert jedes einzelnen Striches durch Integration in y-Richtung feststellen
4. Summe der Werte aller dieser Striche durch Integration in x-Richtung feststellen

Kontrolle:
5. Skizze machen
6. B durch eine Schraffur mit waagerechten Strichen kennzeichnen
7. Wert jedes einzelnen Striches durch Integration in x-Richtung feststellen
8. Summe der Werte aller dieser Striche durch Integration in y-Richtung feststellen

9. Vergleichen : Ergebnis ist 0,1 .

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9. Vergleichen : Ergebnis ist 0,1 .

Wieso?

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Sorry, habe es jetzt gecheckt. Sind zwei verschiedene Interpretationsweisen. Da hier aber nur steht "berechne das Doppelintegral", wird vermutlich das volumenbilanzierende Doppelintegral und nicht das Volumen, das über B eingeschlossen wird, gesucht.

Answer 1

Berechne zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen, in dem du \(x^3=x \Leftrightarrow x(x^2-1)=0\) setzt. Daraus folgt, dass \(x=0\) oder \(x=\pm 1\).

Das Gebiet \(B\) über das du integrierst, sieht so aus:

https://www.desmos.com/calculator/gpk2zlcv5f

Dann gilt:$$\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{x^3}^{x}(x+y^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}x+\int \limits_{-1}^{0}\int \limits_{x}^{x^3}(x+y^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}x=0.1$$

Comments

Hallo,

setzt diese Lösung nicht voraus, dass der Integrand punktsymmetrisch zum Nullpunkt ist??

Gruß

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Ja, ich habe mich eben vertan. Es wird sowieso das vorzeichenbehaftete Volumen (engl. "signed volume") gesucht. "Berechne das Doppelintegral" weist nicht darauf hin, dass das Volumen, welches vorher auch nicht korrekt berechnet wurde, gesucht ist. So, wie es jetzt dort steht, sollte es stimmen.