Ringe prüfen für kommutivität, nullteiler, Körper

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie mit Begrundung, ob es sich bei den folgenden Mengen mit den Standardoperationen ¨
+ und · der reellen Zahlen um kommutative Ringe, nullteilerfreie Ringe oder sogar Körper handelt:
Z[√3] := { a + b√3 | a , b ∈ Z } ⊆ R            und                   Q[√3] := { a + b√3 | a , b ∈ Q } ⊆ R

Problem/Ansatz:

Muss man hier erstmal Assoziativität, Neutrales Element, Inverses, Kommutivität beweisen? Wo soll man am besten anfangen, um es deutlich lösen zu können?

Answer 1

Da es Teilmengen von (ℝ,+, ·) sind brauchst du assoziativ, distributiv und kommutativ nicht zu

untersuchen, das ist ja gegeben.

Aber: Abgeschlossenheit und Existenz von 0 und 1 ( Ist wohl klar wegen 0 + 0√3

und 1+ 0√3.  Und Inverse bezüglich +  sind ja auch vorhanden -a+(ib)√3 .

Nullteiler gibt es in R nicht, also auch hier nicht.  Körper:  Dazu brauchst du Inverse bezüglich ·.

Gibt es bei Z[√3] nicht für alle, insbesondere etwa für 1 + 1 · √3  nicht, denn wäre a + b√3 das

Inverse, dann wäre (1 + 1 · √3)· (a + b· √3)=1 + 0· √3

==>      a + a· √3 + b √3  +  3b = 1 + 0· √3

==> a+3b = 1   und a+b=0

==>  a-3a = 1

==>   -2a = 1   Was in ℤ nicht geht.

Bei   Q[√3] klappt es aber, das ist ein Körper.