Zeige, dass dann P(n) = n + 1 gelten muss.

Question

Aufgabe:

Sei Q ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, derart dass Q(n) > n für alle
positiven ganzen Zahlen n gilt. Wir definieren die Folge (x_k) mit k∈N durch x₁ = 1 und
x_i+1 = P(x_i) für i ≥ 1. Für jede positive ganze Zahl a gebe es ein b ≥ 1 derart,
dass a die Zahl x_b teilt.
Zeige, dass dann P(n) = n + 1 gelten muss.

Problem/Ansatz:

Im Kapitel, das dieser Aufgabe vorangeht, wurden der Satz über die Faktorisierung elementarer Polynom mit zwei Variablen, der Satz über die Teilbarkeit von Polynomdifferenzen und das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium vorgestellt. Wahrscheinlich wird man also zumindest einen Teil davon zur Lösung brauchen. Ich habe jetzt schon eine ganze Weile an der Aufgabe gesessen, aber leider noch keine Idee, wie sie gelöst werden könnte. Ich freue mich über jede Idee. Vielen Dank!!!