Zeige, dass n^{(p+2)}-n^p-n^3+n durch 6p teilbar ist.

Question

Sei \(n \in \mathbb{N}\) und \(p>3\) eine Primzahl. Zeige, dass $$n^{p+2}-n^p-n^3+n$$ durch \(6p\) teilbar ist.

Answer 1

Ich fange mal mit Umformungen an:

\(n^{p+2}-n^p-n^3+n\\ = n^p(n^2-1)-n(n^2-1)\\ =(n^p-n)(n+1)(n-1)\\ =(n^{p-1}-1)\cdot n\cdot (n+1)(n-1)\)

n(n+1)(n-1) ist durch 6 teilbar.

Mit \(n^{p-1}-1\equiv 0\mod p\)  ergibt sich die Behauptung.

:-)

Comments

P sehe ich, doch die 6, die sehe ich nicht.

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Das Produkt von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen ist durch 3 und garantiert auch durch 2 teilbar.

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Drei aufeinander folgende Zahlen enthalten ein oder zwei gerade Zahlen und ein Vielfaches von 3.

:-)

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Das ist lustig, das habe ich gerade beschrieben.

Danke.

https://www.mathelounge.de/780844/zeigen-dass-polynom-durch-174-teilbar-ist

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So dumm kann auch nur ich sein.

Erst beschreibe ich das Schritt für Schritt und dann stehe ich auf dem Schlauch.

Danke an Abakus und MontyPhyton

Answer 2

"Versuche, die Lösung selbst zu finden, indem du den kleinen Fermat studierst.
Du brauchst nur den ersten Absatz zu lesen und p = 29  und a = 2  zu setzen.

Kommentiert vor 5 Stunden von Gast hj2166"

Du brauchst nur p=p zu setzen und a=n

Wie man es umformt, hat MontyPhyton erklärt.

Bitte gib mir dafür aber nicht das Prädikat " Beste Antwort" hier habe ich es nicht verdient.

Es ist ja bald Weihnachten, gibt es für solche Fragen Geschenke?