Bestimmte Werte für ein LGS mit 3 variablen, so dass es KEINE Lösung hat.

Question

Aufgabe:

Gebe Werte für die rechte Seite des LGS, so dass es KEINE Lösung hat.
$$\begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 12 & 4 \\ 0 & 9 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} =$$

Problem/Ansatz:

Ok ich stehe bei der Aufgabe etwas auf dem Schlauch. Mir ist klar das die letzte Zeile via Gaus Elimination in etwa so aussehen musst:

$$\begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 = y1 \\ 0 & 12 & 4 = y2 \\ 0 & 0 & 0 = y3 \end{pmatrix}$$

Wobei y1, y2 und y3 die werte sein sollen die ich angeben musst.

Mir ist aber überhaupt nicht klar wie ich das hinkriegen soll. Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Wähle \(y_3 \neq 0\) und \(y_1\) und \(y_2\) beliebig.

Comments

Vielen Dank für die rasche Antwort.
Heist das, dass ich irgendwelche Zahlen als Ergebnis für das LGS auswählen kann?

Mir ist gerade auch gar nicht klar wie ich die Gaus Elimination anwenden soll in diesen Fall.

Kann ich z. B. für die Y variablen einfach irgendwelche Zahlen einsetzten und dann eine Gaus Elimination auf das LGS anwenden?

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Mir ist gerade auch gar nicht klar wie ich die Gaus Elimination anwenden soll in diesen Fall.

Teile die zweite Zeile durch 4 und die dritte Zeile durch 3

Ersetze dann die dritte Zeile durch die Differenz aus zweiter und dritter Zeile.

Mach das ebenfalls mit dem Vektor \(\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\), der für die rechte Seite des LGS steht.

Wähle dann \(a_2\) und \(a 3\) so, dass

Wobei y1, y2 und y3 die werte sein sollen die ich angeben musst.

Wenn du die linke Seite des LGS umformst, dann musst du auch dei rechte Seite umformen.

Auf der linken Seite von den y_i steht nicht das gleiche wie im ursprünglichen LGS.

Also sind auch die y_i nicht die Werte, die du angeben musst. Stattdessen sind die y_i das was du durch umformen von \(\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) bekommen hast.

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Danke, dass hat mir sehr weitergeholfen. Noch kurze Nachfrage: Ich habe folgende Schritte jetzt ausgeführt:

$$\text{ 2. Zeile durch 4 teilen und 3. Zeile durch 3 teilen} \\ \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 12 & 4 \\ 0 & 9 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} |\; \frac{II}{4} \;|\; \frac{III}{3} \\[20pt] \text{ 3. Zeile minus 2. Zeile} \\ \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ \frac{a_{2}}{4} \\ \frac{a_{3}}{3} \end{pmatrix} |\;III - II \\[20pt] \text{ Zwischenergebnis} \\ \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ \frac{a_{2}}{4} \\ \frac{a_{3}}{3} - \frac{a_{2}}{4} \end{pmatrix} \\[20pt] \text{ Endergebnis } \\ \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 12 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ \frac{a_{2}}{4} \\ \frac{a_{3}}{3} - \frac{a_{2}}{4} \end{pmatrix}$$

Stimmt das Endergebnis so? Es sieht für mich etwas befremdlich aus in der Form.

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\(\begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 12 & 4 \\ 0 & 9 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}\)

Die Notation stimmt nicht. Besser

        \(\begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 12 & 4 \\ 0 & 9 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}\)

oder einfach

      \(\begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 &a_1\\ 0 & 12 & 4 &a_2\\ 0 & 9 & 3&a_3 \end{pmatrix}\).

\(\text{ Zwischenergebnis} \\ \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ \frac{a_{2}}{4} \\ \frac{a_{3}}{3} - \frac{a_{2}}{4} \end{pmatrix}\)

Abgesehen von der Notation ist das richtig.

\(\text{ Endergebnis } \\ \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 12 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ \frac{a_{2}}{4} \\ \frac{a_{3}}{3} - \frac{a_{2}}{4} \end{pmatrix}\)

In der zweiten Zeile muss immer noch 0 3 1 stehen, oder \(a_2\) auf der rechten Seite.

Answer 2

Hallo,

es gilt: $$A:=\begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 12 & 4 \\ 0 & 9 & 3 \end{pmatrix}  \sim \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 12 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Es gibt keine Lösung, wenn \(\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A|b)\). Der Rang von \(A\) ist \(2\). Der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist genau dann nicht \(2\), wenn du ganz unten rechts (also in der \(b_3\)-Komponente von deinem Ergebnisvektor \(\vec{b}\)) keine Null stehen hast

Comments

Danke für die Antwort,

ich verstehe nicht ganz was du mit den Rang in diesen Fall meinst. Inwiefern hilft mir die Betrachtung des Ranges weiter? Und was hat der Rang mit den Ergebniswerten des LGS zu tun wenn ich die so wählen musst, dass es keine Lösung für das LGS gibt.