Vereinfachen einer Ungleichung √(n+1)/(3n-2) > √(n+2)/(3n-1)

Question

Vereinfachung von:

\( \frac{\sqrt{n+1}}{3 * n-2}>\frac{\sqrt{n+2}}{3 * n-1} \)

zu 3*n > 2

(n ∈ℕ)

Mein Problem besteht darin, die Wurzeln aufzulösen, da einfaches quadrieren nicht möglich ist.

Answer 1

Vereinfachen einer Ungleichung

√(n+1)/(3n-2) > √(n+2)/(3n-1)     Da Alles positiv ist, wenn n≠0. Einfach quadrieren.

    .                                                'Alles' heisst alle Zähler und Nenner

(n+1)/(3n-2)^2 > (n+2)/(3n-1)^2           |*HN

(3n-1)^2 ( n+1) > (n+2) ( 3n- 2)^2        

(9n^2 - 6n + 1)(n+1) > (n+2)(9n^2 - 12n + 4)

9n^3 + 9n^2 - 6n^2 - 6n + n + 1 > 9n^3 + 18n^2 - 12n^2 - 24n + 4n + 8

 3n^2  - 5n  + 1 >  6n^2  - 20n + 8

0> 3n^2 -15n + 7      nach oben geöffnete Parabel. Zwischen den Nullstellen gilt die  Ungleichung.

Löse:

0=3n^2 -15n + 7

n = 1/6 ( 15 ± √(225 - 84))

n = 1/6 ( 15 ± √141)

n1 = 4.479

n2 = 0.5209

L1 = {1,2,3,4} 

Falls n=0 ?

√(n+1)/(3n-2) > √(n+2)/(3n-1)     

√1/ (-2) > √2 / (-1)  ?

-0.5 > -1.412  stimmt. weitere Lösung. L2={ 0}

L = {0,1,2,3,4} ist meine Lösungsmenge

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=√%28n%2B1%29%2F%283n-2%29+%3E+√%28n%2B2%29%2F%283n-1%29+

Comments

3*n > 2  , d.h. n> 2/3. Also oben bei 'Alles' mein erster Fall: n≠0.

Prüft nur, dass der erste Nenner grösser als 0 ist.

3*n>1 

würde sicherstellen, dass der zweite Nenner grösser als 0 ist. Muss aber nicht extra gefordert werden, wenn 3n>2 schon gilt.