Beschränktheit rekursive Folge

Question

$$h_{n+1}=\frac{h_{n}}{2}+\frac{1}{h_{n}}, \; h_{1}=-3$$ Ich soll mithilfe vollständiger Induktion beweisen, dass diese Folge beschränkt ist. In der Lösung steht:

Beschränktheit: h_n ≤ -sqrt(2)

dann wird eben im weiteren Schritt bewiesen, dass -sqrt(2) wirklich eine Schranke ist. Meine Frage ist nun: wie kommt man überhaupt auf den Wert -sqrt(2) ? Und wieso geht der Lösungsschreiber davon aus, dass es eine obere Schranke ist? Es könnte doch genauso gut eine untere sein?

Answer 1

Da h1 negativ ist, ist h2 als Summer zweiter negativer Brüche negativ usw.

Damit sind alle Folgenglieder negativ, und somit ist 0 eine obere Schranke.

Dass sogar -sqrt(2) eine obere Schranke ist braucht man an der Stelle nicht.

Wenn du jetzt noch zeigen kannst dass die Folge monoton wächst, hast du mit -3 auch eine untere Schranke.