vollstäbdige Induktion n³+5n+2 durch 4 teilbar?

Question

Aufgabe:

Entscheide ob die Aussageform für alle n Element der natürlichen Zahlen: A(n) wahr ist und ob die Aussage für alle n Element der natürlichen Zahlen für die gilt (A(n) => A(n+1)) wahr ist.

Die Angabe lautet n³+5n+2 ist durch 4 teilbar.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir jetzt nicht sicher muss man beim Induktionsanfang A(0) oder A(1) zeigen wie entscheide ich dies. Und was ist mit durch 4 teilbar gemeint? ohne Rest oder wie?

Answer 1

Ich bin mir jetzt nicht sicher muss man beim Induktionsanfang A(0) oder A(1) zeigen wie entscheide ich dies. Und was ist mit durch 4 teilbar gemeint? ohne Rest oder wie?

Zeig es mal für n = 0. Das ist schwer.

Comments

zeig es mal für n = 0. Das ist schwer.

Und wenn du der Meinung bist, dass 0 nicht zu den natürlichen Zahlen gehört (es gibt widersprüchliche Definitionen), dann probiere n=4.

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Ja , genau deshalb wusste ich nicht soll ich jetzt A(0) zeigen, weil dies ist falsch aber für A(1) ja wieder richtig aber A(4) wär wieder falsch

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4 | n^3 + 5·n + 2

Für n = 4

4 | 4^3 + 5·4 + 2 = 86 → 4 teilt nicht die 86 also falsch!

Für n = 8

4 | 8^3 + 5·8 + 2 = 554 --> 4 teilt nicht die 54 also falsch!

...

Das könnte man wohl beliebig fortführen.

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Die Aufgabe sollte eher lauten

Zeige dass n³ + 5n + 2 durch 4 teilbar ist, wenn n kein Vielfaches von 4 ist.

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Die Aufgabe sollte eher lauten

Zeige dass n³ + 5n + 2 durch 4 teilbar ist, wenn n kein Vielfaches von 4 ist.

Warum sollte sie das? Die Aufgabe lautet:

Entscheide ob die Aussageform für alle n Element der natürlichen Zahlen: A(n) wahr ist

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Also das hab ich jetz gezeigt und jz bin ich dabei zu zeigen, dass A(n)=>A(n+1)

Jz hab ich so:

Es sei n eine Zahl, für die A(n) stimmt.

IA: (n+1)³+5*(n+1)+2=(n+1)³+5n+7

Weiter weiß ich nicht

Aber laut Löser ist A(n) ist wahr -> falsch und A(n)=> A(n+1) auch falsch aber wie kann ich da jetz konkret zeigen, dass A(n)=>A(n+1) falsch ist??

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Okay habs jetzt doch weiter geschafft. Ich hab jz

(n+1)³+5*(n+1)+2=(n+1)³+5n+7=(n³+3n²+3n+1)+5n+7=n³+3n²+5n+3n+8

=n³+5n+2+3n²+3n+6=n³+5n+2+3n(n+1)+6

Das hab ich jetzt aber muss ich jetzt noch irgendwie zeigen, dass 3n(n+1)+6 durch 4 teilbar ist?Schon oda? Also es ist ja nicht teilbar oda?

Answer 2

Und was ist mit durch 4 teilbar gemeint? ohne Rest oder wie?

Ja, teilbar heißt soviel wie Rest 0.

Das lernt man eigentlich in der 5. Klasse...

;-)

Answer 3

Für n=4 ist es doch falsch ???