Lineare Gleichungssyteme lösen

Question

Hallo Leute! Ich brauche dringend eure Hilfe bei diesen Aufgaben. Eigentlich verstehe ich sie, ich weiß nur nicht wie man das LGS in die Dreiecksgestalt bringt. Hoffentlich könnt ihr mir helfen! Ich bedanke mich schonmal im voraus!

Die Aufgabe:

Die nachfolgenden inhomogenen LGS muss man erst auf die Dreiecksgestalt bringen, bevor man sie löst.

$$\begin{pmatrix}1&2&3&\bigm|&1\\ 2 & 5 & 5 &\bigm| & -3\\ 3 & 5 & 11 &\bigm| & 10\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}1&-4&-2&\bigm|&1\\4&3&3&\bigm|&0 \\ 1 & 15 & 8 &\bigm|&6 \end{pmatrix}$$

Lösungen in ungeordneter Reihenfolge: (0, 0, 0), (3, 5, -9), (-2, -4, 5), (1, -3, 2)

Answer 1

Hallo,

$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 5 & -3 \\ 3 & 5 & 11 & 10 \end{matrix}\right)$$

Multipliziere die erste Gleichung mit -2 und addiere sie zur 2.

$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -5 \\ 3 & 5 & 11 & 10 \end{matrix}\right)$$

Multipliziere die 1. Gleichung mit -3 und addiere sie zur 3.

$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -5 \\ 0 & -1 & 2 & 7 \end{matrix}\right)$$

Addiere die 2. und die 3. Zeile

$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}\right)$$

Aus der letzten Zeile ergibt sich x₃ = 2, setze das in die 2. Gleichung ein, um x₂ (= -3) zu ermitteln, dann beide Ergebnisse in die 1. Gleichung (x₁ = 1)

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank! Haben sie das auch für die 2. Aufgabe? Würde mir extrem weiter helfen!

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Wenn du die Aufgabe selber versuchst, wird dir das wahrscheinlich noch mehr helfen ;-)

$$\left(\begin{matrix} 1 & -4 & -2 & 1 \\ 4 & 3 & 3 & 0 \\ 1 & 15 & 8 & 6 \end{matrix}\right)$$

Multipliziere die 1. Zeile mit -4 und addiere sie zur 2.

$$\left(\begin{matrix} 1 & -4 & -2 & 1 \\ 0 & 19 & 11 & -4 \\ 1 & 15 & 8 & 6 \end{matrix}\right)$$

Multipliziere die 1. Zeile mit -1 und addiere sie zur 3.

$$\left(\begin{matrix} 1 & -4 & -2 & 1 \\ 0 & 19 & 11 & -4 \\ 0 & 19 & 10 & 5 \end{matrix}\right)$$

Subtrahiere die 3. von der 2. Zeile

$$\left(\begin{matrix} 1 & -4 & -2 & 1 \\ 0 & 19 & 11 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -9 \end{matrix}\right)$$

Den Rest schaffst du selber.

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@Silvia, kleiner Tipp: Verwende einfach die Umgebung \begin{pmatrix} ... \end{pmatrix} für runde Klammern, dann brauchst du die nicht extra noch hinzufügen.

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@Doesbaddel, ich kopiere das Ganze aus einem Rechenprogramm und brauche nichts hinzuzufügen. Aber danke für den Tipp, den kann ich bestimmt anderweitig noch gebrauchen.

Answer 2

wie man das LGS in die Dreiecksgestalt bringt.

Verwende die erste Zeile, um in allen folgenden Zeilen die erste Spalte zu 0 zu machen.

Verwende die zweite Zeile, um in allen folgenden Zeilen die zweite Spalte zu 0 zu machen.

Und so weiter, je nach dem wie viele Zeilen du hast.

(1  2  3  / 1)
(2  5  5  / -3)
(3  5  11 / 10)

Subtrahiere von der zweiten Zeile das doppelte der ersten Zeile.

Subtrahiere von der dritten Zeile das dreifache der ersten Zeile.

Dann steht in der ersten Spalte 1, 0 und 0. Wende dich dann der zweiten Spalte zu.

muss man erst auf die Dreiecksgestalt bringen, bevor man sie löst.

Nein. "Auf Dreiecksgestalt bringen" ist Teil des Lösungsweges und nicht etwas was man vor dem Lösungsweg macht.

Comments

Verwende die erste Zeile, um in allen folgenden Zeilen die erste Spalte zu 0 zu machen.

Das Verstehe ich nicht, was ist damit gemeint.

(1  2  3 / 1)

(0  1  -1/ -5)

(-1  -1  2/ 7)

Das kommt raus, wenn ich die Schritte mit dem subtrahieren befolge.

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Bei der dritten Zeile hast du dich verrechnet:

(0 -1 2 | 7)

:-)