Aloha :)
Die ersten 31 Folgenglieder lauten:$$\begin{array}{rr}n & a_n\\\hline0 & 5,0000 \\ 1 & 6,0000 \\ 2 & 7,1750 \\ 3 & 8,5740 \\ 4 & 10,2373 \\ 5 & 12,2113 \\ 6 & 14,5487 \\ 7 & 17,3094 \\ 8 & 20,5596 \\ 9 & 24,3719 \\ 10 & 28,8235 \\ 11 & 33,9942 \\ 12 & 39,9623 \\ 13 & 46,7992 \\ 14 & 54,5620 \\ 15 & 63,2842 \\ 16 & 72,9641 \\ 17 & 83,5520 \\ 18 & 94,9386 \\ 19 & 106,9454 \\ 20 & 119,3212 \\ 21 & 131,7481 \\ 22 & 143,8601 \\ 23 & 155,2746 \\ 24 & 165,6338 \\ 25 & 174,6504 \\ 26 & 182,1459 \\ 27 & 188,0723 \\ 28 & 192,5096 \\ 29 & 195,6404 \\ 30 & 197,7085 \end{array}$$
Diese Punkte sollst du als Punktgraph darstellen:
~plot~ {0|5,0000};{1|6,0000};{2|7,1750};{3|8,5740};{4|10,2373};{5|12,2113};{6|14,5487};{7|17,3094};{8|20,5596};{9|24,3719};{10|28,8235};{11|33,9942};{12|39,9623};{13|46,7992};{14|54,5620};{15|63,2842};{16|72,9641};{17|83,5520};{18|94,9386};{19|106,9454};{20|119,3212};{21|131,7481};{22|143,8601};{23|155,2746};{24|165,6338};{25|174,6504};{26|182,1459};{27|188,0723};{28|192,5096};{29|195,6404};{30|197,7085}; [[-1|33|0|200]] ~plot~
Dann sollst du erklären, dass sich die Folge \((a_n)\) für große Werte von \(n\) offensichtlich auf einen festen Wert einpendelt. Rechnerisch kannst du für große \(n\) so tun, als wären die Werte \(a_n\), \(a_{n+1}\) und \(a_{n+2}\) alle in etwa gleich groß, sagen wir mal, sie hätten alle in etwa den Wert \(a\). Dann kannst du die Berechnungsformel umschreiben:$$\left.a_{n+2}=1,2a_n-0,001a_n^2\quad\right|\quad a \text{ als Näherung für }a_n\,,\,a_{n+1}\,,\,a_{n+2}\text{ einsetzen}$$$$\left.a=1,2a-0,001a^2\quad\right|\quad-1,2a$$$$\left.-0,2a=-0,001a^2\quad\right|\quad\cdot(-1000)$$$$\left.200a=a^2\quad\right|\quad\div a$$$$a=200$$Der \(a_n^2\)-Term sorgt also dafür, dass sich die Population auf Grund der Resourcen-Begrenzung auf etwa 200 Individuen einpendelt.
