Berechne Folgenglieder und erstelle einen Punktdiagramm

Question

Aufgabe:

Die durch $$\begin{aligned}a_0 &= 5 \\ a_1 &= 6 \\a_n+2 &= 1,2a_n+1 − 0,001a^2_n\end{aligned}$$ für $n\in \mathbb{N}_0$ definierte Folge beschreibt die Ausbreitung einer Population, die über ihre Verhältnisse lebt“, die Konsequenzen ihres Tuns aber erst mit einer zeitlichen Verzögerung spürt (ohne den Summanden −0.001a²n würde sie sich exponentiell vermehren).

Berechne die Folgenglieder für 0 ≤ n ≤ 30 und skizziere die Entwicklung als Punktgraph mit einem beliebigen Computerwerkzeug. Erkläre, wie der Term −0.001a²n zum beobachteten Verhalten führt!

Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

Die ersten 31 Folgenglieder lauten:$$\begin{array}{rr}n & a_n\\\hline0 & 5,0000 \\ 1 & 6,0000 \\ 2 & 7,1750 \\ 3 & 8,5740 \\ 4 & 10,2373 \\ 5 & 12,2113 \\ 6 & 14,5487 \\ 7 & 17,3094 \\ 8 & 20,5596 \\ 9 & 24,3719 \\ 10 & 28,8235 \\ 11 & 33,9942 \\ 12 & 39,9623 \\ 13 & 46,7992 \\ 14 & 54,5620 \\ 15 & 63,2842 \\ 16 & 72,9641 \\ 17 & 83,5520 \\ 18 & 94,9386 \\ 19 & 106,9454 \\ 20 & 119,3212 \\ 21 & 131,7481 \\ 22 & 143,8601 \\ 23 & 155,2746 \\ 24 & 165,6338 \\ 25 & 174,6504 \\ 26 & 182,1459 \\ 27 & 188,0723 \\ 28 & 192,5096 \\ 29 & 195,6404 \\ 30 & 197,7085 \end{array}$$

Diese Punkte sollst du als Punktgraph darstellen:

Plotlux öffnen

P(0|5,0000)P(1|6,0000)P(2|7,1750)P(3|8,5740)P(4|10,2373)P(5|12,2113)P(6|14,5487)P(7|17,3094)P(8|20,5596)P(9|24,3719)P(10|28,8235)P(11|33,9942)P(12|39,9623)P(13|46,7992)P(14|54,5620)P(15|63,2842)P(16|72,9641)P(17|83,5520)P(18|94,9386)P(19|106,9454)P(20|119,3212)P(21|131,7481)P(22|143,8601)P(23|155,2746)P(24|165,6338)P(25|174,6504)P(26|182,1459)P(27|188,0723)P(28|192,5096)P(29|195,6404)P(30|197,7085)Zoom: x(-1…33) y(0…200)

Dann sollst du erklären, dass sich die Folge $(a_n)$ für große Werte von $n$ offensichtlich auf einen festen Wert einpendelt. Rechnerisch kannst du für große $n$ so tun, als wären die Werte $a_n$, $a_{n+1}$ und $a_{n+2}$ alle in etwa gleich groß, sagen wir mal, sie hätten alle in etwa den Wert $a$. Dann kannst du die Berechnungsformel umschreiben:$$\left.a_{n+2}=1,2a_n-0,001a_n^2\quad\right|\quad a \text{ als Näherung für }a_n\,,\,a_{n+1}\,,\,a_{n+2}\text{ einsetzen}$$$$\left.a=1,2a-0,001a^2\quad\right|\quad-1,2a$$$$\left.-0,2a=-0,001a^2\quad\right|\quad\cdot(-1000)$$$$\left.200a=a^2\quad\right|\quad\div a$$$$a=200$$Der $a_n^2$-Term sorgt also dafür, dass sich die Population auf Grund der Resourcen-Begrenzung auf etwa 200 Individuen einpendelt.

Comments

Vielen vielen dank