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Aufgabe:

3 Punkte und drei Distanzen sind gegeben. Der 4. Punkt wird gesucht.

$$P_1(32;32;14)$$$$P_2(23;35;50)$$$$P_3(47;20;59)$$

$$|P_1P_4|=15$$$$|P_2P_4|=39$$$$|P_3P_4|=51$$





Problem/Ansatz:Es kann auch mehrere Lösungen geben, eine reicht mir. Die Aufgabe ist konstruiert, doch ich würde gerne wissen, wie ein solches Gleichungssystem gelöst wird.


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Wähle P4 = (x;y;z) und stelle 3 Gleichungen auf

jeweils : Distanz ^2 =   Summe der quadrierten Koordinatendifferenzen also

225  = (32-x)^2 + (32-y)^2 + (14-z)^2

1521 = (23-x)^2 + (35-y)^2 + (50-z)^2

2601  =  (47-x)^2 +(20-y)^2 +(59-z)^2

Wenn du die Klammern auflöst und dann jeweils zwei Gleichungen

voneinander subtrahierst ( 1. minus 2. ; 1. minus 3. und 2. minus 3.)

erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen, das musst du

dann lösen.

Avatar von 289 k 🚀

Oh, das habe ich übersehen, danke.

Kann ich nachdem ich die Klammern aufgelöst habe, nicht einfach die quadratischen Anteile streichen, dass sollte doch auf das Gleiche hinaus laufen.

Ich habe das Gleichungssystem gelöst und dabei festgestellt, dass es linear abhängig ist.

$$x= 11 + 3/5 y$$

$$z=12 +(10+y)/15$$

Nun habe ich unendlich viele auf einer Geraden liegende Punkte, doch die können ja nicht alle die geforderten Abstände zu meinen 3 Bezugspunkten haben.




Die kannst du ja dann in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen.

Genau das habe ich auch gemacht und zwei Lösungen gefunden, was ja auch zu erwarten war.

$$P_4a(23;20;14)$$

$$P_4b(38 \frac{93}{307} ;45 \frac{155}{307} ;15 \frac{215}{307}) $$

Nochmal vielen Dank.

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