Wie sind die Koordinaten von Punkt 4?

Question

Aufgabe:

3 Punkte und drei Distanzen sind gegeben. Der 4. Punkt wird gesucht.

$$P_1(32;32;14)$$$$P_2(23;35;50)$$$$P_3(47;20;59)$$

$$|P_1P_4|=15$$$$|P_2P_4|=39$$$$|P_3P_4|=51$$

Problem/Ansatz:Es kann auch mehrere Lösungen geben, eine reicht mir. Die Aufgabe ist konstruiert, doch ich würde gerne wissen, wie ein solches Gleichungssystem gelöst wird.

Answer 1

Wähle P4 = (x;y;z) und stelle 3 Gleichungen auf

jeweils : Distanz ² =   Summe der quadrierten Koordinatendifferenzen also

225  = (32-x)² + (32-y)² + (14-z)²

1521 = (23-x)² + (35-y)² + (50-z)²

2601  =  (47-x)² +(20-y)² +(59-z)²

Wenn du die Klammern auflöst und dann jeweils zwei Gleichungen

voneinander subtrahierst ( 1. minus 2. ; 1. minus 3. und 2. minus 3.)

erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen, das musst du

dann lösen.

Comments

Oh, das habe ich übersehen, danke.

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Kann ich nachdem ich die Klammern aufgelöst habe, nicht einfach die quadratischen Anteile streichen, dass sollte doch auf das Gleiche hinaus laufen.

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Ich habe das Gleichungssystem gelöst und dabei festgestellt, dass es linear abhängig ist.

$$x= 11 + 3/5 y$$

$$z=12 +(10+y)/15$$

Nun habe ich unendlich viele auf einer Geraden liegende Punkte, doch die können ja nicht alle die geforderten Abstände zu meinen 3 Bezugspunkten haben.

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Die kannst du ja dann in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen.

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Genau das habe ich auch gemacht und zwei Lösungen gefunden, was ja auch zu erwarten war.

$$P_4a(23;20;14)$$

$$P_4b(38 \frac{93}{307} ;45 \frac{155}{307} ;15 \frac{215}{307}) $$

Nochmal vielen Dank.