Abbildungen und Verknüpfungen!

Question

Aufgabe:

Wie zeige ich oder widerlege ich durch ein Gegenbeispiel:
a) Für alle Bijektionen \( f, g:\{0,1\} \rightarrow\{0,1\} \) gilt
\(g \circ f=f \circ g\)
b) Für alle Bijektionen \( f, g:\{0,1,2\} \rightarrow\{0,1,2\} \) gilt
\(g \circ f=f \circ g\)

Vielen Dank! :)

Comments

Hat jemand Ahnung wie ich diese Aufgabe beweisen kann?!

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Bei a) gibt es nur zwei Bijektionen, von denen eine die Identität ist.
Bei b) gibt es sechs Bijektionen. Finde deren zwei, für die die Aussage nicht gilt.

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Könntest du aber geben was sind die Bijektionen von a) und b)?

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Bei a) gibt es zwei Bijektionen f und g. Eine ist die Identität. Für die gilt f(0)=0 und f(1)=1. Für die andere gilt g(0)=1 und g(1)=0.

Answer 1

a)  Wie in den Kommentaren steht: Es gibt nur 2: Sagen wir f und g mit

f(0)=0 und f(1)=1. Für die andere gilt g(0)=1 und g(1)=0.

Da f die Identität ist, ist fog=g und gof=g . Das kannst

du auch ganz ausführlich überlegen etwa so:

Es ist   (fog) (0) = f( g(0)) = f(1) = 1

und       (fog) (1) = f( g(1)) = f(0) = 0

und bei gof entsprechend. Also ist fog=gof.

b) Hier gibt es neben der Identität noch einige andere

Bijektionen. z.B. f mit f(1)=1  f(2)=3  f(3)=2

und            g mit  g(1) = 2 und g(2) = 1 und g(3)=3

Vergleiche fog mit gof und du hast das gesuchte

Gegenbeispiel.