Wie zeigt man, dass eine Funktion die einzige Lösung ist?

Question

Hallo, wie zeigt man, dass eine Funktion die einzige ist, die eine Differenialgleichung erfüllt.

Im speziellen geht es hier um die DGL y' = y². Dort habe ich als Lösung y(x)= $\frac{1}{c-x}$ erhalten und es war noch die Lösung y=0 gegeben. Wie zeigt man jetzt, dass das die einzigen Funktionen sind, die die DGL auf einem Intervall erfüllt. Ich habe noch das Intervall: (-∞, c), (c, ∞).

Weiterhin weiß man, dass die Ableitung von $\frac{1}{y(x)}$ konstant ist. Als Hinweis ist gegeben, dass es sinnvoll ist für eine beliebige Lösung y die Ableitung von $\frac{1}{y}$ anzugucken.

Ich kann damit nur leider nichts anfangen.

Wäre sehr dankbar über Hilfe.

Answer 1

Da für $y(x) \ne 0$ $$\frac{d}{dx} \frac{1}{y(x)} = - \frac{ y(x) }{y(x)^2 } = -1$$ gilt, folgt mit der Funktion $w(x) = \frac{1}{y(x) }$, das die ursprüngliche Dgl. in die folgende transformiert werden kann $$(1) \quad w'(x) = -1$$ Sind jetzt $u(x)$ und $v(x)$ zwei Lösungen der Dgl. (1), dann gilt $$u'(x) - v'(x) = 0$$ d.h. $$u(x) - v(x) = \text{const}$$ Wenn die Anfangswerte der beiden Lösungen also übereinstimmen, sind die beiden Funktinen identisch. Somit gibt es nur eine eindeutige Lösung der Dgl. $w'(x) = -1$ und damit auch nur eine der Dgl. $$y'(x) = y(x)^2$$

Comments

Ich bin leider etwas verwirrt. Was genau sind hier u und v. Und warum kommt oben -1 raus

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$u(x)$ und $v(x)$ sind Lösungen der Dgl. 1, steht doch da.

Und -1 kommt raus, weil die Ausgangsdgl $y'(x) = y(x)^2$ lautet.