a) Wenn die Spaltenvektoren der Matrix linear unabhängig sind, dann ist die einzige Lösung von \(\mathbf{A}\vec{x}=0\) mit \(\vec{x}=0\) gegeben.
b) Eine Parameterlösung (unendlich viele Lösungen) erhält man, wenn die Spaltenvektoren der Matrix linear abhängig sind. In Zeilenstufenform gebracht entsteht folglich eine Nullzeile in der Matrix. Es gibt dadurch zwei Parameter \(x_1,x_2\) in einer Gleichung, einer der beiden muss beliebig gewählt werden.
Du musst hier nur jeweils ein Beispiel mit expliziten Koeffizienten angeben für beide Teilaufgaben.
Def.: (Lineare Unabhängigkeit) Sei \(V\) ein Vektorraum über dem Körper \(\mathbb{K}\). Die Vektoren \(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\in V\) sind linear unabhängig genau dann, wenn $$\lambda_1 \vec{v}_1 +\ldots +\lambda_n \vec{v}_n=0 \text{ für } \lambda_1=\dots=\lambda_n = 0 \quad \lambda\in \mathbb{K}.$$
Beispiel: $$\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} = 2\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},$$ demnach sind die beiden Vektoren linear abhängig.
