Prüfe die Reihe auf Konvergenz

Question

Aufgabe:

Prüfe die Reihe auf Konvergenz

(1/k²)*(k+1/k)^-k

Ich habe es schon mit den Quotienten und Wurzelkriterium versucht, jedoch bekommen ich da keine Aussage heraus.

Answer 1

Mit etwas Umformung bekommt man

\(a_k=\frac{1}{k^2}\cdot \left (k+\frac{1}{k}\right)^{-k}=\frac{1}{k^2}\cdot \left(\frac{k^2+1}{k}\right)^{-k}=\frac{1}{k^2}\cdot \left(\frac{k}{k^2+1}\right)^{k}\) und damit ist

\(\sqrt[k]{|a_k|}=\sqrt[k]{a_k}=\frac{1}{\sqrt[k]{k^2}}\cdot \left(\frac{k}{k^2+1}\right)\).

Answer 2

Aloha :)

Wir stellen die Summanden etwas um:$$a_k=\frac{1}{k^2}\left(k+\frac{1}{k}\right)^{-k}=\frac{1}{k^2}\left(\frac{k^2+1}{k}\right)^{-k}=\frac{1}{k^2}\left(\frac{k}{k^2+1}\right)^{k}$$Mit dem Wurzelkriterium prüfen wir auf Konvergenz:$$\sqrt[k]{\left|a_k\right|}=\sqrt[k]{\frac{1}{k^2}\left(\frac{k}{k^2+1}\right)^{k}}=\sqrt[k]{\frac{1}{k^2}}\cdot\sqrt[k]{\left(\frac{k}{k^2+1}\right)^{k}}=\frac{1}{k^{2/k}}\cdot\frac{k}{k^2+1}$$$$\phantom{\left|\sqrt[k]{a_k}\right|}=\frac{1}{\sqrt[k]{k}}\cdot\frac{1}{\sqrt[k]{k}}\cdot\frac{1}{k+\frac{1}{k}}\to1\cdot1\cdot0=0<1\quad\Rightarrow\quad\text{konvergiert}$$

Comments

Auch wenn es hier bei diesem Beispiel keinen Unterschied macht, muss der Betrag in der Wurzel stehen. Also statt \(|\sqrt[k]{a_k}|\), muss es \(\sqrt[k]{|a_k|}\) heißen.

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Vielen Dank für den Hinweis. Du hast natürlich recht, ich habe es korrigiert ;)