Ah stimmt. Das hab ich übersehen. Sorry. Und wenn ich das mir so weiter überlege, dann ist \(f_n\) auch nicht gleichmäßig konvergent, aber punktweise.
Hier aber zunächst, warum die gleichmäßige Konvergenz nicht funktioniert. Dafür negiere ich alle Quantoren. Damit kann man folgendes machen:
Wähle \(\varepsilon=\frac{1}{5}\) und sei \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\) beliebig. Nun wähle \(n=N_{\varepsilon}\) und wähle
\(x\in [R,2^{\frac{1}{N_{\varepsilon}}}]\). Dann gilt zunächst
\(1<R\leq x \leq 2^{\frac{1}{N_{\varepsilon}}} \quad \Rightarrow \quad R^{2\cdot N_{\varepsilon}}\leq x^{2\cdot N_{\varepsilon}}\leq \Big(2^{\frac{1}{N_{\varepsilon}}} \Big)^{2\cdot N_{\varepsilon}}=4\). Damit ist
\(|f_n(x)-1|=\left |\frac{1}{1+x^{2n}}\right |=\frac{1}{1+x^{2N_{\varepsilon}}}\geq \frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}=\varepsilon\).
Damit ist \(f_n\) nicht gleichmäßig gegen \(1\) konvergent.
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Jetzt zur punktweisen Konvergenz. Die lautet ja in Quantorenschreibweise:
\(\forall x\in D \ \forall \varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon,x}\in \mathbb{N} \ \forall n\geq N_{\varepsilon,x}: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\).
Im Prinzip nutze ich fast dieselbe Argumentation von oben:
Seien \(x\in [R,\infty)\) sowie \(\varepsilon>0\) beliebig. Dann setzt man erstmal ein:
\(|f_n(x)-1|=\left |\frac{1}{1+x^{2n}} \right |\stackrel{x\in [R,\infty)}{=} \frac{1}{1+x^{2n}}\leq \frac{1}{x^{2n}}\leq \frac{1}{x^n}\leq \frac{1}{x^{N_{\varepsilon,x}}}=...\)
-------------------------Nebenrechnung---------------------------
Jetzt muss man dieses \(N_{\varepsilon,x}\) passend bestimmen:
\(\frac{1}{x^{N_{\varepsilon,x}}}\stackrel{!}{<}\varepsilon\quad \Rightarrow N_{\varepsilon,x}>\frac{\ln\left(\frac{1}{\varepsilon} \right)}{\ln(x)}\)
-------------------------Nebenrechnung Ende-------------------
\(...=\frac{1}{x^{N_{\varepsilon,x}}}<\frac{1}{x^{\frac{\ln\left(\frac{1}{\varepsilon} \right)}{\ln(x)}}}=\frac{1}{x^{-\frac{\ln(\varepsilon )}{\ln(x)}}}=x^{\frac{\ln(\varepsilon )}{\ln(x)}}=...\)
-------------------------Nebenrechnung---------------------------
Der Ausdruck \(x^{\frac{\ln(\varepsilon )}{\ln(x)}}\) muss noch vereinfacht werden:
\(\ln(e)=1=\frac{1}{\ln(x)}\cdot \ln(x)=\ln\left(x^{\frac{1}{\ln(x)}} \right)\\\Leftrightarrow e=x^{\frac{1}{\ln(x)}}\)
-------------------------Nebenrechnung Ende-------------------
\(...=x^{\frac{\ln(\varepsilon )}{\ln(x)}}=\Big(x^{\frac{1}{\ln(x)}}\Big)^{\ln(\varepsilon)}=e^{\ln(\varepsilon)}=\varepsilon\). Fertig!