Aloha :)
(i) Eine Abbildung ist linear, wenn sie du sie als Matrix-Gleichung schreiben kannst:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\x+y+z\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$Wir haben eine Abbildungsmatrix \(\mathbf M\) gefunden, daher ist die Abbildung linear.
(ii+iii) Da die Abbildungsmatrix \(\mathbf M\) bereits Stufenform hat, kann man hier direkt eine Basis und den Kern ablesen:$$\text{Basis}(\mathbf M)=\left(\,\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}\,\right)\quad;\quad\text{Kern}(\mathbf M)=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$$
Zur Beurteilung der Injektivität nehmen wir an, es gibt zwei Vektoren \(\vec x\) und \(\vec y\) mit demselben Bild:$$\left.\mathbf M\cdot\vec x=\mathbf M\cdot\vec y\quad\right|\quad-\mathbf M\cdot\vec y$$$$\left.\mathbf M\cdot\vec x-\mathbf M\cdot \vec y=\vec 0\quad\right|\quad\text{\(\mathbf M\) ist linear.}$$$$\left.\mathbf M\cdot(\vec x-\vec y)=\vec 0\quad\right|\quad\text{Der Kern enthält nur den Nullvektor.}$$$$\left.\vec x-\vec y=\vec 0\quad\right|\quad+\vec y$$$$\left.\vec x=\vec y\quad\right.$$Es gibt also keine 2 verschiedenen Vektoren, die auf dasselbe Bild abbilden. Die Abbildung ist injektiv.
Bemerkung: Nach der hier gezeigten Betrachtung, ist jede lineare Abbildung, deren Kern nur den Nullvektor enthält, injektiv.
Zur Beurteilung der Surjektivität überlegen wir uns, dass wir den Vektor \((1|1|1|0)\) aus der Zielmenge \(\mathbb R^4\) mit den Basisvektoren des Bildes nicht zusammenbauen können. Die ersten 3 Komponenten erfordern den Ausgangsvektor \((1|1|1)\), der jedoch auf \((1|1|1|3)\) abgebildet wird. Wir können also nicht alle Vektoren der Zielmenge \(\mathbb R^4\) erreichen, sodass die Abbildung nicht surjektiv ist.
