aussagenlogische Umformung von (C → A)∨(A∧B)∨(B∧C)

Question

Aufgabe:

Vereinfachen Sie folgende Formel mit Hilfe semantisch äquivalenter Umformungen:
(C → A)∨(A∧B)∨(B∧C)

Ich habe bereits versucht, die Aufgabe zu lösen, komme aber einfach nicht weiter!

Bisher habe ich folgenden Ansatz:

(C → A)∨(A∧B)∨(B∧C)

(nichtC v A)∨(A∧B)∨(B∧C)

nichtC v A ∨(A∧B)∨(B∧C)                   <--- kann man da die erste Klammer weglassen? Bin mir da unschlüssig

nichtC v A v (B ∧ (AvC) )

wie kann man weiter vereinfachen?

Answer 1

Ohne deine Rechnung zu kontrollieren, habe ich einfach mal eine komplette Wahrheitstabelle hingeschrieben und gefunden, dass der Term sich reduzieren lässt zu

nicht (nur C allein wahr)

oder also:

¬ ( C ∧ (¬ A) ∧ (¬B) )

Und es geht noch etwas einfacher so:

A ∨ B ∨ (¬ C)

Comments

Danke für die Hilfe! Mittels Wahrheitstabelle kann ich nachvollziehen, warum das Ergebnis A ∨ B ∨ (¬ C) sein muss. Ich komme nur nicht damit weiter per Umformung zu dem Ergebnis zu kommen! Hast du eine Idee?

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Nun ja, da wird es darum gehen, die de-Morgan-schen Gesetze mehrfach anzuwenden.

Welches dabei der kürzeste Weg zum einfachsten möglichen Term ist, kann ich auch nicht gerade sagen - und heute habe ich dafür jedenfalls keine Zeit ...

Answer 2

Aloha :)

Wie immer verwende ich \(\cdot\) statt \(\land\) und \(+\) statt \(\lor\), um Klammern zu sparen:

$$\phantom{=}(C\to A)\lor(A\land B)\lor(B\land C)$$$$=(\overline C+A)+AB+BC$$$$=\overline C+A+AB+BC$$$$=\overline C+A\underbrace{(1+B)}_{=1}+BC$$$$=\overline C+A+BC$$

Comments

aber muss das Ergebnis nicht A ∨ B ∨ (¬ C) statt C+A+BC sein? Bitte um Erklärung! Bin total verwirrt!

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Das Ergebnis von Tschakabumba stimmt ebenfalls, wie man mittels Wahrheitstabelle verifizieren kann.

Nun könnte man allenfalls noch fragen, welches Ergebnis "am einfachsten" ist. Ich würde da doch bei meinem Resultat bleiben:

A ∨ B ∨ (¬ C)

(da ist eine Operation weniger drin).