Beweis ¬(x ↔ y) ≡ (x ↔ ¬y)

Question

Aufgabe:

Ich soll folgende Äquivalenz zeigen indem ich die linke Seite zur rechten Umforme:

¬(x ↔ y) ≡ (x ↔ ¬y)

Problem/Ansatz:

¬(x ↔ y) ≡ ¬((x → y) ∧ (y → x))
≡ (¬(x → y) ∨ ¬(y → x))
≡ (¬(¬x → ¬y) ∨ ¬(y → x))
≡ (¬(¬¬x ∨¬ y) ∨ ¬ (¬y ∨ x))
≡ (¬(x ∨¬ y) ∨ ¬(¬y ∨ x))
≡ ((¬x ∧ y) ∨ (y ∧ ¬x))
???? mir fehlt hier noch ein zwischen schritt oder ein Gesetz
≡ ((¬x ∨ ¬y) ∧ (y ∨ x))
≡ ((¬x ∨ ¬y) ∧ (¬¬y ∨ x))
≡ ((x → ¬y) ∧ (¬y → x))
≡ (x ↔ ¬y)

Answer 1

Das Gesetz was dir fehlt kannst du theoretisch mit einer Wahrheitstabelle beweisen.

Comments

Die Antwort ist erstens falsch und zweitens seltsam.

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warum sollte er die Äquivalenz zweier Aussagen nicht mit einer Wahrheitstabelle zeigen können? Denk nach bevor du schreibst

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Damit sprichst du das Seltsame deiner Antwort an (das Falsche bleibt davon unberührt) :
Wenn Wahrheitstabellen als Lösungsmethode infrage kommen, dann ist es am einfachsten, diese Methode sofort auf die zu zeigende Äquivalenz anzuwenden ohne sich vorher mit Umformungen herumzuschlagen.

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Er soll es aber allgemein mit Umformungen machen steht da doch. Aber wenn er sich nicht sicher ist, ob seine Umformung äquivalent ist soll er es einfach mit einer Wahrheitstabelle beweisen.

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Das Gesetz was dir fehlt kann er auch mit einer Wahrheitstabelle nicht beweisen, weil die Aussagen vor und nach der Lücke überhaupt nicht äquivalent sind.

Eine vernünftige Antwort wäre gewesen :
"Korrigiere den Fehler beim Übergang von der zweiten zur dritten Zeile und schließe die Lücke durch Anwenden des Distributivgesetzes. Die Tatsache, dass deine beiden Klammern vor der Lücke identisch sind, ist ein starkes Indiz für einen vorangegangenen Fehler."

Answer 2

Uni Leipzig, Übungsblatt 2 Aufgabe 3b) ?^^

Sitz grad selbst an der exakten Aufgabe und würd mich deiner Frage anschließen, weil ich selbst auf dem Schlauch stehe.

Ein Fehler bei dir ist auf jeden Fall der Schritt von (¬(x → y) ∨ ¬(y → x)) zu (¬(¬x → ¬y) ∨ ¬(y → x))

Du kannst nicht einfach die Variablen in einer Implikation negieren und auf Aequivalenz hoffen, das geht leider nicht.

Daher ist jede weitere hilfreiche Antwort willkommen!

Comments

Stimmt, der Schritt sollte eigentlich Kontraposition sein, hab mich da verhauen. :D
Habs aber mittlerweile hinbekommen. Einfach ein paar mal das Distributivgesetz draufkloppen.

...

≡ ((x ∧ ¬y) ∨ (y ∧ ¬x)) De Morgan + Auflösung Doppelte Negation
≡ ((x ∧ ¬y) ∨ y) ∧ ((x ∧ ¬y) ∨ ¬x)) Distributivgsetz
≡ ((x ∨ y) ∧ (y ∨ ¬y)) ∧ ((x ∨ ¬x) ∧ (¬x ∨ ¬y))) Distributivgesetz x2
≡ ((x ∨ y) ∧ 1) ∧ (1 ∧ (¬x ∨ ¬y)) Tautologie x2
≡ ((x ∨ y) ∧ (¬x ∨ ¬y)) Neutrales Element für Konjunktion x2
≡ ((¬x ∨ ¬y) ∧ (y ∨ x))