Äquivalenz von (a∧b) → c und (a → c) ∨ (b→ c) zeigen.

Question

Beweise die Äquivalenz von:
$$ (A \wedge B) \rightarrow \text { und }(A \rightarrow C) \vee(B \rightarrow C) $$

Ich kann aber die Aussage nicht umformen! Hat jemand vielleicht eine Idee, wie ich das lösen kann?

Comments

Mengen? Soll das ein Implikationspfeil sein? Erklär mal bitte die Notation, was heißt denn beispielsweise

\( (A \wedge B) \rightarrow\)

---

Ja genau Implikationspfeil.

A und B impliziert C

---

A, B und C sind Aussagen und es soll bewiesen werden ob die Aussagen logisch äquivalent sind

Answer 1

bei einer Wahrheitstabelle gibt man alle möglichen Belegungen für die Aussagenvariablen a,b und c mit Wahrheitswerten 1 für wahr bzw. 0 für falsch vor und bestimmt dann mit Hilfe der Definitionen von ∧ , ∨ und →  die Wahrheitswerte der in der Aufgabe vorkommenden aussagenlogischen Ausdrücke:

Definitionen von ∧ , ∨ und →  findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Aussagenlogik

(Die Definitionen findest du dort rechts in Tabellenform)

Wahrheitstafel zur Aufgabe:

a b c        a∧b       (a∧b) → c        a → c        b→ c       (a → c) ∨ (b→ c)   

0 0 0          0                   1                  1               1                         1

0 0 1          0                   1                  1               1                         1

0 1 0          0                   1                  1               0                         1

0 1 1          0                   1                  1               1                         1

1 0 0          0                   1                  0               1                         1                        

1 0 1          0                   1                  1               1                         1

1 1 0          1                   0                  0               0                         0

1 1 1          1                   1                  1               1                         1

Die Wahrheitswerte in den blauen Spalten stimmen überein, die zugehörigen Terme sind also äquivalent.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Geht auch durch Umformen:

(  A ∧ B ) → C

⇔   ¬ (  A ∧ B )   ∨  C

⇔   ( ¬  A ∨ ¬ B )   ∨  C

⇔   ( ¬  A ∨ ¬ B )   ∨  C   und es ist ja  C äquivalent mit C   ∨  C

 ⇔   ( ¬  A ∨ ¬ B )   ∨  (  C   ∨  C )    Assoziativität  und Komm. von oder gibt

 ⇔   ( ¬  A ∨   C    )    ∨ (  ¬ B  ∨   C  )

 ⇔   (  A  →   C    )    ∨ (   B  →    C  )

Comments

Danke, habe es jetzt verstanden