Für welche Stelle x0 ist die Gerade g mit der Gleichung y = −x Tangente an den Graphen von f im Punkt (x0,f(x0))?

Question

Aufgabe

Sei f(x) = x^3− 6x^2+ 8x. Für welche Stelle x0 ist die Gerade g mit der Gleichung y = −x Tangente an den Graphen von f im Punkt (x0,f(x0))?

Problem/Ansatz

Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz. Ich dachte ich setze die Funktion gleich um den Berührungspunkt herauszufinden. Ich komme auf keinen Ansatz. Vielleicht könnte man mir den Ansatz kurz erklären

Answer 1

f(x) = \( x^{3} \) − 6\( x^{2} \) + 8x

f´(x) = 3*\( x^{2} \)-12 \( x^{} \)+8

y= - x

y´ = - 1

3*\( x^{2} \)-12 \( x^{} \)+8 = -1

3*\( x^{2} \)-12 \( x^{} \) = - 9

\( x^{2} \) - 4 \( x^{} \)  = - 3

\(( x - 2 )^{2} \) =1

_{x ₁ =  2+1=3 →y ₁ = - 3}

_{x ₂   =  2 - 1 = 1 → y ₂ =  3}

_mfG

_Moliets

Answer 2

Hallo,

wenn du die Funktionen gleichsetzt, erhältst du die Schnittpunkte.

Du sollst aber herausfinden, für welchen Punkt y = -x die Tangente ist.

Dazu musst du erst einmal die Punkte bestimmen, die die gleiche Steigung wie die Gerade, also -1 haben:

$$f(x)=x^3-6x^2+8x\\f'(x)=3x^2-12x+8\\3x^2-6x^2+8x=-1\\ x^2-4x+3=0\\x_1=1\quad x_2=3\\ P(1|3)\quad Q(3|-3)$$

Setze jetzt die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Geradengleichung y = mx + b ein, um b zu bestimmen:

3 = -1 · 1 + b ⇒ b = 4

Tangentengleichung y = -x + 4, also kommt P nicht in Frage

-3 = -1 · 3 + b ⇒ b = 0

Tangentengleichung y = -x

Also ist die gesuchte Stelle x = 3

Gruß, Silvia