Potenzen im Pascalschen Dreieck

Question

Hallo Leute.

Ich hätte bei folgendem Beispiel ein Problem.

Begründen Sie ausführlich/anschaulich warum in den ersten 4 Zeilen des Pascalschen Dreiecks die Potenzen von 11 auftreten.

Ich habs hier mal aufgezeichnet.

  1             = 11^0

 11            = 11^1

121           = 11^2

 1331          = 11^3

14641         = 11^4

Danke für eure Tipps.

Answer 1

Aloha :)

$$(10+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}10^k\cdot1^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}10^k$$$$\phantom{(10+1)^n}=\binom{n}{0}+10\binom{n}{1}+100\binom{n}{2}+\cdots+10^n\binom{n}{0}$$

Das mit \(11^n\) klappt solange, wie \(\binom{n}{k}\) einstellig ist. Deswegen ist bei \(n=5\) Ende ;)

Comments

Ok du hast da den Binomischen Lehrsatz verwendet.

Könntest du das noch genauer ausführen wie du den in Verbindung mit den 11er Potenzen bringst. Und warum kürzt sich 1^(n-k) weg ?

Ich kapiers leider nicht ganz ^^

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Der binomische Lehrsatz lautet ja:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^k\cdot b^{n-k}$$Wenn du \(a=10\) und \(b=1\) setzt, bekommst du:

$$11^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}10^k\underbrace{\cdot 1^{n-k}}_{=1}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}10^k$$

Wenn du nun z.B. \(n=3\) wählst, steht da:

$$11^3=\binom{n}{0}\cdot10^0+\binom{n}{1}\cdot10^1+\binom{n}{2}\cdot10^2+\binom{n}{3}\cdot10^3$$$$\phantom{11^3}=1\cdot1+3\cdot10+3\cdot100+1\cdot1000=1331$$