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Aufgabe:

Auflistung der Elemente folgender Menge:

$$\left\{x\in\mathbb{Q}|0<5x+1\leq 12 \wedge x=\frac{m}{n}\quad m,n\in\mathbb{N}, \quad n<6 \right\}$$

Wie löst man eine solche Aufgabe überhaupt? :/


Kann ich durch Umformen das Intervall umschreiben zu:

$$-\frac{1}{5} < \frac{m}{n} \leq \frac{11}{5}$$ 

Aber nun?

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Aloha :)

$$\left.0<5x+1\le12\quad\right|\quad x=\frac{m}{n}$$$$\left.0<5\frac{m}{n}+1\le12\quad\right|\quad -1$$$$\left.-1<5\frac{m}{n}\le11\quad\right|\quad :5$$$$\left.-\frac{1}{5}<\frac{m}{n}\le\frac{11}{5}\quad\right.$$Da \(m,n\in\mathbb N\) sein soll, ist \(\frac{m}{n}>0\), sodass wir die untere Grenze anpassen können:$$\left.0<\frac{m}{n}\le\frac{11}{5}\quad\right|\quad\cdot n$$$$\left.0<m\le\frac{11}{5}\cdot n\quad\right.$$Da \(n<6\) sein soll, können wir die Lösungsmenge nun ablesen:

$$n=1\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{11}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2$$$$n=2\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{22}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2;3;4$$$$n=3\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{33}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2;3;4;5;6$$$$n=4\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{44}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2;3;4;5;6;7;8$$$$n=5\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{55}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11$$

Damit haben wir alle Elemente der Menge gefunden:

$$M=\left\{\left.\frac{m}{n}\in\mathbb Q\;\right|\;n,m\in\mathbb N\;\land\;n\le5\;\land\;m\le2n\right\}$$

Avatar von 152 k 🚀

Hältst du das für eine Auflistung ?

Irgendwas mache ich falsch. Schon wieder ist ein Versuch schiefgegangen, einen Fragesteller mit einem wegweisenden Hinweis in die Handlungsspur zu bringen.

@abakus doch hast du, hatte mir jetzt eine Tabelle erstellt und alle doppelten Werte raus gestrichen. :)

alle doppelten Werte raus gestrichen. :)

Das war eine vorzügliche Idee...

@abakus

Ich hoffe ich lese hier keine Ironie raus.

Im Gegenteil. Du hast nicht nur mechanisch Paare (m,n) aufgelistet, sondern die Gleichwertigkeit mehrerer Paare erkannt.

Wenn du alle doppelten Werte steichst, sollten übrig bleiben:

\(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\)

\(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};\frac{1}{5};\frac{2}{3};\frac{2}{5};\frac{3}{2};\frac{3}{4};\frac{3}{5};\frac{4}{3};\frac{4}{5};\frac{5}{3};\frac{5}{4};\frac{6}{5};\frac{7}{4};\frac{7}{5};\frac{8}{5};\frac{9}{5}\)

Was ist mit

$$\frac{11}{5}$$

und wieso ist 3,4,5..,10 mit drin?

Ah du hast das <= nicht richtig abgeschrieben sehe ich gerade. Deshalb ist die 11/5 auch nicht mit drin.

Ah, das \(\le\) habe ich übersehen, dann ist \(\frac{11}{5}\) natürlich mit drin.

Bei den ganzen Zahlen hast du Recht, da kommen nur die \(1\) und die \(2\) vor. Ich bin in Excel in die falsche Zeile gerutscht, sorry dafür.

Ich korrigiere das mit dem \(\le\) gleich noch in meiner Antwort.

Gut ok geklärt! :D

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Du hast etwas überlesen:

n<6


Damit geht es nur um eine überschaubare Menge von Brüchen mit den Nennern 1 bis 5.

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