Zeigen Sie, dass die logistische Wachstumsfunktion eine Lösung der DGL ist

Question

Aufgabe: Beweisen sie, dass die logistische Wachstumsfunktion f(t)= S/1+(S/f(0)-1)*e^-kSt eine Lösung der DGL f’(t)= k*f(t)*(S-f(t)) ist.

Problem/Ansatz: Hallo, diese Aufgabe habe ich als HA im Mathe-Lk bekommen und sitze jetzt schon extrem lange daran. Mein erster Ansatz war die Ableitung von f(t) zu bilden. Das habe ich mit meinem Taschenrechner gemacht, wobei k*f(0)*e^kSt*S^2*(S-f(0))/(f(0)*e^kSt+S-f(0))^2 herauskam. Nun habe ich extrem viel herum probiert, um mit Umformung dieser Formel auf die DGL zu kommen. Jedoch ist mir das nicht wirklich gelungen. Ich würde mich über Tipps freuen, wie ich am besten die Umformung hinbekomme!

Comments

Das habe ich mit meinem Taschenrechner gemacht,

Das ist schlimm. Hast du die gelernten Ableitungsregeln verdrängt?

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Ne eigentlich nicht, aber ich hab einfach nicht so viel Zeit, da ich noch andere Sachen zu tun habe. Da mein Lehrer damit auch einverstanden ist, mache ich es so

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Hallo

hast du denn die rechte Seite der Dgl mal hingeschrieben, dann so weit es geht gekürzt. eigentlich ist das nur Schreibarbeit, die solltest lieber  du übernehmen und wir verbessern.

Gruß lul

Answer 1

dass die logistische Wachstumsfunktion f(t)= S/1+(S/f(0)-1)*e^-kSt

Achte auf Klammern. Die Funktion lautet f(t)= S/(1+(S/f(0)-1)*e^(-kSt)).

\(\begin{aligned}f(t) & =\frac{S}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\\ & =S\cdot\left(1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}\right)^{-1}\\f'(t) & =kS^{2}\cdot\left(1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}\\ & =\frac{kS^{2}\cdot\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}{\left(1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}\right)^{2}}\\k\cdot f(t)\cdot\left(S-f(t)\right) & =k\cdot\frac{S}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\cdot\left(S-\frac{S}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\right)\\ & =\frac{kS}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\cdot\left(\frac{S\cdot\left(1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}\right)}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}-\frac{S}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\right)\\ & =\frac{kS}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\cdot\left(\frac{S+S\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}-\frac{S}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\right)\\ & =\frac{kS}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\cdot\frac{S+S\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}-S}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\\ & =\frac{kS}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\cdot\frac{S\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\\ & =\frac{kS^{2}\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}{1+\left(\frac{1}{f(0)}-1\right)e^{-kSt}}\\ & =f'(t)\end{aligned}\)

die Ableitung von f(t) zu bilden. Das habe ich mit meinem Taschenrechner gemacht

Das sollte nur die Außnahme sein, egal ob dein Lehrer es erlaubt oder nicht. Nur so wird man hinreichend sicher bei Termumformungen.