quadratische Fläche der Seitenlänge 2^(n) mit einer Platte bedecken

Question

Hey ich hab hier eine Aufgabe, die schon öfters gestellt wurde glaube ich, aber ich hab das jetzt mal verstanden hoffe ich und beantwortet, meine Frage bezieht sich darauf ob meine Antwort richig ist bzw. ich glaube dies kann man viel einfacher formulieren und soll man wasl auch??

Das ist jetzt sehr viel Text, aber man kann hier ja keine Bilder hochladen.

Aufgabe:

Bei einer quadratischen Fläche der Seitenlänge 2^n, die schachbrettartig in Einheitsquadrate unterteilt ist, wird eines der Einheitsquadrate entfernt. Beweise mit vollständiger Induktion, dass die verbleibende Fläche stets durch Platten der Form (also man kann sagen eine L-Form die aus 3 Einheitsquadraten bestehen) lückenlos und überschneidungsfrei bedeckt werden kann.

Problem/Ansatz:

Ich hab jetz mal den Induktionsanfang gemacht: Für n=1 ist sie wahr (weil ein Brett mit Seitenlänge 2 besteht aus 4 Einheitsquadraten und nimmt man ja wie in der Angabe steht eines weg kann der Rest durch die Platte abgedeckt werden)

IS:

Wir nehmen an die Behauptung stimmt für ein n.

Zu zeigen: DIe Behauptung stimmt für n+1. dh. ein 2^(n+1) Brett.

Bei 2^(n+1) ist die quadr. Fläche 4x so groß, wie bei einem 2^n brett. Man denke sich die quadratische Fläche der Größe 2^(n+1) in 4 Quadranten unterteilt, sodass jeder Quadrant die Größe 2^n besitzt. Nimmt man nun aus einem der Quadranten ein Einheitsquadrat heraus, kann man die verbliebene Fläche des Quadranten nach der IV (=Angabe) lückenlos mithilfe der Platte abdecken.

Wir wissen, dass jeder der 3 Quadranten aus einem Quadrat der Seitenlänge 2^n besteht. Jeder dieser Quadranten kann bis auf ein Einheitsquadrat kommplett mithilfe der Platte abgedeckt werden. Legt man nun die Platte mit dem Inneneck auf den Schnittpunkt dieser 3 Quadranten, wird in jedem Quadrant das noch zu bedeckende Einheitsquadrat abgedeckt. Bedeckt man nun noch die verbleibende Fläche in jedem der 3 Quadranten mithilfe der Platte ist die komplette quadr. Fläche der Größe 2^(n+1) bedeckt.

Dadurch gilt die Behauptung auch für n+1.

Kann man das so gelten lassen, also ist dies ein zulässiger Beweis, wär euch dankbar wenn ihr mir da helfen könnt bzw. Tipps geben wie man dies besser formuliert oder auch mathematischer.

Answer 1

kann man die verbliebene Fläche des Quadranten nach der IV (=Angabe) lückenlos mithilfe der Platte abdecken.

Die Induktionvoraussetzung sagt aber gerade, dass man diese Teilquadrate NICHT abdecken kann, sondern dass da (jetzt in jedem Teilquadrat) immer ein Einheitsquadrat als Lücke bleibt.

Erst in den nächsten Sätzen klärst du auf, wie die 3 Lücken auch noch durch ein L-förmiges Stück bedeckt werden können.

aus 4 Einheitsquadraten und nimmt man ja wie in der Angabe steht eines weg kann der Rest durch die Platte abgedeckt werden)

Damit argumentierst du eigentlich nur, dass 4-1=3 ist. Wäre es kein 2X2-Quadrat, sondern ein 4X1-Rechteck, würde dieses Argument nicht funktionieren.

Comments

Mhhh ich hoff ich kann dem jz folgen.

Also ich hab geschrieben Nehmen wir aus einem der Quadranten nun ein Einheitsquadrat heraus.. Dann schreib ich statt dem jz:

Wir nehmen aus einem beliebigen (rechts oben) der Quadranten ein Einheitsquadrat heraus.

Bis dahin stimmts?

Kann man dann so fortfahren:

Von der verbliebenen Fläche müssen wir zeigen, dass sie mithilfe der Platte lückenlos abgedeckt werden kann. Wir wissen jeder Quadranten der Seitenlänge 2^n kann bis auf ein Einheitsquadrat abgedeckt werden. Nun lege man die Platte mit der Innenecke auf den Schnittpunkt der 3 Quadranten der Seitenlänge 2^n bei denen kein EInheitsquadrat fehlt. Dadurch wird in jedem der Quadranten ein Einheitsquadrat bedeckt und nun kann man den Rest dieser 3 Quadranten, sowie auch die verbleibende Fläche in dem Quadrant mit dem fehlenden Einheitsquadrat mit der Platte bedecken und erhält eine komplette Überdeckung der quadr. Fläche der Seitenlänge 2^(n+1).

Ich glaube ich weiß was du meinst, aber ich hab solche Schwierigkeiten das korrekt auszudrücken wie man wasl merkt.

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Ich habs mir jetzt nochmal angesehen und ich glaube ich was du meinst ist, dass ich mich bei dem Beweis zu sehr an dieses eine Brett binde, obwohl ich es ja für n+1 beweisen muss. Deshalb hab ich noch einen Versuch gestartet:

Bei einem Brett der Seitenlänge 2^n+1 ist die quadr. Fläche 4x so groß, wie bei einem 2^n Brett. Man denke sich das Brett der Größe 2^n+1 in 4 Quadranten unterteilt, sodass jeder Quadrant die Größe 2^n besitzt. Wir nehmen aus einem beliebigen (rechts oben) Quadranten ein Einheitsquadrat heraus. Von der verbliebenen Fläche müssen wir zeigen, dass sie mithilfe der Platte lückenlos abgedeckt werden kann. Wir wissen dass jeder der Quadranten in dem kein Einheitsquadrat entfernt wurde bis auf ein Einheitsquadrat komplett abgedeckt werden kann. Nun lege man die Platte mit der Innenecke auf den Schnittpunkt der 3 Quadranten, bei denen kein Einheitsquadrat entfernt wurde. Denkt man sich nun die von der Platte bedeckten Fedler entfernt, so hat die Fläche, die wir noch bedecken müssen genau dieselbe Form, wie der Quadrant mit dem entfernten Einheitsquadrat. Nun überdecken wir mit der Platte noch die in jedem Quadrant verbliebene Fläche.

=> n+1