Flächeninhalt das von AD und AB und AE aufgespannten Spats berechnen.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten den oben skizzierten Spat, wobei die Eckpunkte
\( A=(-1,-2,0), \quad B=(2,-1,0), \quad D=(-3,1,0), \quad G=(2,0,4) \)
vorgegeben sind.
(a) Berechne die Koordinaten der Punkte \( C \) und \( E \).
(b) Berechne den Flächeninhalt des von \( A \vec{D} \) und \( A \vec{B} \) aufgespannten Parallelogramms.
(c) Berechne das Volumen des durch \( A \vec{D}, A \vec{B} \) und \( A \vec{E} \) aufgespannten Spats.
(d) Berechne die Länge der Raumdiagonalen \( \overrightarrow{A G} \) sowie der Flächendiagonalen \( \overrightarrow{A C} \).

Problem: Wie genau berechne ich b, c und d? A habe ich soweit verstanden und habe die Punkte C (0|2|0 und E(1|-4|4).
Wie gehe ich nun an den Aufgaben heran?

Answer 1

Aloha :)

(a) Koordinaten von \(C\) und \(E\):

$$\vec c=\vec d+\overrightarrow{AB}=\vec d+\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}-3+2+1\\1-1+2\\0+0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad C(0;2;0)$$$$\vec e=\vec a+\overrightarrow{CG}=\vec a+\vec g-\vec c=\begin{pmatrix}-1+2-0\\-2+0-2\\0+4-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad E(1;-4;4)$$(b) Flächeninhalt des von \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AB}\) aufgespannten Parallelogramms

$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}2+1\\-1+2\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\overrightarrow{AD}=\vec d-\vec a=\begin{pmatrix}-3+1\\1+2\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}$$$$F=\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\11\end{pmatrix}\right\|=11$$

(c) Volumen des Spates \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AE}\)

$$\overrightarrow{AE}=\vec e-\vec a=\begin{pmatrix}1+1\\-4+2\\4-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix}$$$$V=\overrightarrow{AE}\cdot(\,\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\,)=\begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\11\end{pmatrix}=44$$

(d) Länge der Diagonalen

$$\overline{AG}=\left\|\overrightarrow{AG}\right\|=\left\|\vec g-\vec a\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2+1\\0+2\\4-0\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}$$$$\overline{AC}=\left\|\overrightarrow{AC}\right\|=\left\|\vec c-\vec a\right\|=\left\|\begin{pmatrix}0+1\\2+2\\0-0\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$$