Für welche Parameter b und c hat das Gleichungssystem mehr als eine Lösung?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
6x-17y+2z= -132

x-3y+2z= -31

5x+y+bz=c

Für welche Parameter b und c hat das Gleichungssystem mehr als eine Lösung?

Problem/Ansatz:

Also: Mir ist bewusst, dass ich durch Addition/ Subtraktion der Gleichungen (oder eben vielfache dieser) miteinander die Variablen x, y, z eliminieren muss, bis ich eine Aussage darüber kriege, wie groß b und c sind. Das Problem ist, dass ich einfach nicht auf eine gescheite Aussage komme.

Answer 1

Aloha :)

Wir bringen das LGS auf Stufenform:$$\begin{array}{rrrrl}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline6 & -17 & 2 & -132 & -5\cdot\text{Zeile 2}\\1 & -3 & 2 & -31 & \\5 & 1 & b & c & -5\cdot\text{Zeile 2}\\\hline1 & -2 & -8 & 23 & \\1 & -3 & 2 & -31 & -\text{Zeile 1}\\0 & 16 & b-10 & c+155 &\\\hline1 & -2 & -8 & 23 & -2\cdot\text{Zeile 2} \\0 & -1 & 10 & -54 &\cdot(-1) \\0 & 16 & b-10 & c+155 & +16\cdot\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & -28 & 131 & \\0 & 1 & -10 & 54 & \\0 & 0 & b+150 & c-709 &\\\hline \end{array}$$Wir erhalten eine Nullzeile für$$b=-150\quad;\quad c=709$$Für diesen Fall haben wir dann nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte, sodass wir immer einen Freiheitsgrad haben und somit unendlich viele Lösungen.

Comments

Also habe es mir mal auf ner Seite berechnen lassen und es kam für b 150 und c 800 heraus...

Dann habe ich die Gleichung nochmal kontrolliert und festgestellt, dass ich einfach zu blöd war die hier richtig reinzuschreiben....

Anstatt der -31 muss da -32 stehen.

Danke euch also für eure Hilfe :D

Answer 2

Du kannst doch umformen auf

6x-17y+      2z        = -132
   91y +(6b-10)z   =  6c+660
             (b+150)z  =  c - 709

Die letzte Gleichung hat für b≠-150  genau eine Lösung

und die anderen beiden dann jeweils auch.

Also hat das GL.system für b≠-150  genau eine Lösung.

Für b=-150 und c=709  hat die letzte unendlich viele Lösungen

und jede davon liefert auch eine Lösung des ganzen

Systems.

und für b=-150 und c≠709  hat die letzte keine Lösung,

also auch das ganze system keine.

Comments

okay also .-150 und 709 passen ja irgendwie nicht. Also zum einen wird mir das als falsch angezeigt und zum anderen kommen da absolut krumme und scheppe zahlen raus wenn ich das GS berechne :/

Drittens komme ich damit nur auf eine Lösung.... bin ich jetzt einfach zu doof dein Ergebnis richtig zu deuten und ggfls. umzustellen oder hast du dich verrechnet? :0