Aussagen mittels Prädikatenlogik formulieren und negieren

Question

Für alle natürlichen Zahlen x und y mit x > 1 und y ≥ 2x existiert eine natürliche Zahl z, so dass x < z und z < y.

Ich soll diese Aussage mittels Prädikatenlogik formulieren und anschließend negieren, sodass Negationen nur noch vor Atomen stehen.

Mein Ansatz ist: ∀x,y∈N:[(x>1 ∧ y≥2x) →(∃z∈: x<z und z<y) ]

Stimmt das soweit erstmal und wie kann ich das negieren?

Answer 1

Aloha :)

$$\forall\, (x,y\in\mathbb N\,,\,x>1\land y\ge2x)\;\exists z\in\mathbb N\;:\;(x<z\land z<y)$$Eigenschaften werden durch Kommata getrennt. Die runden Klammern sind nicht notwendig, dienen aber der Lesbarket.

Comments

wenn ich nun

∀(x,y∈N,x>1∧y≥2x)∃z∈N : (x<z∧z<y)

negieren will habe ich folgenden Ansatz:

¬ [∀(x,y∈N,x>1∧y≥2x)∃z∈N : (x<z∧z<y)]

∃(x,y∈N,x>1∧y≥2x)¬(∃z∈N : (x<z∧z<y))

∃(x,y∈N,x>1∧y≥2x)∀z∈N: ¬(x<z∧z<y)

∃(x,y∈N,x>1∧y≥2x)∀z∈N: ¬(x<z)v¬(z<y)

stimmt das?

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Die Kernaussage ist ja:$$x>1\;\land y\ge2x\quad\Rightarrow\quad x<z\;\land\; z<y$$Die Negation davon ist:$$\lnot(x<z\;\land\; z<y)\quad\Rightarrow\quad\lnot(x>1\;\land y\ge2x)$$Das kann man umformen zu:$$x\ge z\;\lor\; z\ge y\quad\Rightarrow\quad x\le1\;\lor y<2x$$Jetzt kommt noch die "Dekoration" dazu:$$\forall z\in\mathbb N\;\exists(x,y\in\mathbb N\,,\,x\ge z\lor y\le z)\,:\;(x\le1\,\lor\,y\le2x)$$

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direkt in der ersten Zeile muss es aber heißen x<z statt z<x und somit stimmt der Rest nicht

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Stimmt, ich wollte nur sehen, ob du auch aufpasst ;)

Nee, ich hab mich einfach verguckt. Jetzt sollte alles passen.

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Hast du auch eine Idee wie man die ursprüngliche Aussage beweisen könnte?