Injektivität, Surjektivität, bzw Abbildungen

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Zuordnungsvorschriften eine Abbildung M -> N
definieren. Wenn ja, geben Sie außerdem an, ob die jeweilige Abbildung injektiv oder
surjektiv ist. Beweisen Sie Ihre Aussagen.$$ M=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\quad N=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\}\}, \quad X \mapsto X \setminus\{\varnothing\}$$

Problem/Ansatz:

Meine Vermutung wäre, dass es sich hier um keine Abbildung handelt, weil es sich um leere Mengen handelt. Ist dieser Ansatz richtig ? Und außerdem verwirren diese Mengen mich. Ich wüsste nicht wie ich diese Abbildung nach injektivitöt oder surjektivität untersuchen soll.

Answer 1

\( X \mapsto X \setminus\{\varnothing\}\)

Es ist \(\varnothing \in M\) und \(\varnothing \setminus \{\varnothing\} = \varnothing \in N\).

Es ist \(\{\varnothing\} \in M\) und \(\{\varnothing\} \setminus \{\varnothing\} = \varnothing \in N\).

Es ist \(\{\varnothing, \{\varnothing\}\} \in M\) und \(\{\varnothing, \{\varnothing\}\} \setminus \{\varnothing\} = \{\{\varnothing\}\} \in N\).

Weil \(M\) keine weiteren als die drei obigen Elemente enthält und die Zuordnungsvorschrift für jedes ein Element von \(N\) liefert, handelt es sich um eine Abbildung.

Die Frage nach Injektivität und Surjektivität sollte jetzt eigentlich leicht zu beantworten sein.