Injektivität und Surjektivität - lineare Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei f : Kn → Km eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix M(f) ∈ M(m×n,K). Zeigen Sie:
(i) f ist injektiv ⇔ es existiert eine Matrix A ∈ M(n×m,K), so dass A·M(f) = En.

(ii) f ist surjektiv ⇔ es existiert eine Matrix B ∈ M(n×m,K), so dass M(f)·B = Em.

Sei nun n = m. Zeigen Sie:
(iii) f ist bijektiv ⇔ M(f) ist invertierbar.
(iv) Im Fall (iii) gilt M(f^-1) = M(f)^-1.

Wie kann man diese Aufgabe lösen? Wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könnt, solche Aufgaben bereiten mir leider immer noch Schwierigkeiten.

Answer 1

zu i)  es existiert eine Matrix A ∈ M(n×m,K), so dass A·M(f) = En.

Kann man ja auch so formulieren:

Es existiert eine lin. Abb. g:K^m → K^n mit gof = id_n .

Sei also f injektiv und (v1,...,vn) eine Basis von K^n .

==> ( f(v1),...,f(vn)) sind lin. unabhängig in K^m.

und m≥n. Für m>n lässt sich ( f(v1),...,f(vn)) zu

einer Basis von K^m ergänzen :

( f(v1),...,f(vn), w₁,...,w_m-n ).

Definiere nun g:K^m → K^n durch g(f(vi)=vi für i∈{1,...,n} und f(wj)=0.

Dann ist offenbar g(f(v)) = v für alle v∈ K^n, also gof=id_n

umgekehrt:  es existiert eine Matrix A ∈ M(n×m,K), so dass A·M(f) = En.

und u,v ∈ K^n mit f(u) = f(v)

         ==>         M(f)·u = M(f)·v

  ==>    A ·( M(f)·u )= A· (M(f)·v)

       ==>    (A · M(f))·u = (A· (M(f))·v

        ==>   En·u = En·v

           ==>   u = v

Also f injektiv.