Herr Frisch kauft sich ein neues Auto für 7850 DM. Nach 6 Jahren Gebrauch nimmt es eine Autohandlung mit 1640 DM in Zahlung. Welchen jährlich gleichbleibenden Betrag hätte Herr Frisch zu Beginn jedes der 6 Jahre sparen müssen, um sich wieder einen neuen Wagen zu kaufen? Zinssatz 6%.
Das neue Auto kostet 7850 DM.
Nun werden 1640 DM an Zahlung abgezogen.
Er müsste also 6200 DM gespart haben.
x sei der Betrag, den jeweils eingezahlt hat. Der war jetzt unterschiedlich lang (6,5,4,3,2 resp. 1 Jahre) auf der Bank und hat deshalb unterschiedlich viel Zins abgeworfen.
Deshalb die Gleichung:
x*1.066 + x*1.065+ x*1.064 … + x*1.061 = 6200 |x ausklammern, umsortieren
x(1.06 + 1.062 + 1.063 … +1.066) = 6200 | :( …)
x = 6200 / (1.06 + 1.062 + 1.063 … +1.066) = 838.54 DM
Das kannst du so in den Taschenrechner eingeben und hoffen, dass du dich nicht vertippst. Oder, wenn du Geduld hast für eine Umformung, kannst du erst den Nenner noch vereinfachen.
Im Nenner hast du eine geometrische Reihe mit a1 = 1.06, q = 1.06 und n = 6
(1.06 + 1.06^2 + 1.06^3 … +1.06^6) = a1 (qn -1)/(q-1) =1.06*(1.066 -1)/ 0.06
Statt durch diesen Bruch zu dividieren kannst du gleich mit dem Kehrwert multiplizieren
x = 6200 / (1.06 + 1.062 + 1.063 … +1.066) = 6200*0.06/ (1.06(1.066 - 1))
= 838.54 DM
