Lösungsmenge einer (A|b) Matrix in parametrisierter Form schreiben. (Wenn die Lösungsmenge eindeutig bestimmt ist?)

Question

Aufgabe:

A= \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) und b= \( \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Gebe die Lös(A,b) in parametrisierter Form an.

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Matrix durch Zeilenoperationen in die Zeilenstufenform umgeformt, dadurch erzeugte ich folgende Matrix:

\( \begin{pmatrix} 1 & 1  | 1 \\ 0 & 3  | 9 \\ 0 & 0  | 0 \end{pmatrix} \)

Diese Matrix ist aber doch nun eindeutig lösbar.
Da die letzte Spalte kein Pivot besitzt und der Rang der Spaltenanzahl entspricht verstehe ich nicht, wie ich die Lösung in parametrisierter Form angeben soll, da ich ja gar keine Parameter verwenden muss. Ich habe ja keine freien Variablen.

Meine Lösungen definieren sich durch die gebundenen Variablen x1 und x2.

x1 + x2 = 1    und  3x2 = 9

dadurch erhalte ich die Lösungen x2=3 und x1=1. Das heißt ich hätte eine eindeutige Lösungsmenge aus {-2,3} oder?

Habe ich irgendwas falsch gemacht?
Und ist es möglich die Lösung in Parametrisierter Form anzugeben?

Kann ich zum Beispiel einfach x1 und x2 durch s und t ersetzen?

Vielleicht in Form von:

Lös(A|b)= { x= \( \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} \) - s \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) - t \( \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Dann müsste ich aber noch den Zusatz hinzufügen, dass s=-2 und t=3 ist.

Aber das macht ja auch keinen Sinn...

Answer 1

(-2;3) ist keine Lösung des Systems. Zwar gilt

(-2)*(-2)+3*1=7

und

(-2)*3+3*0=-6 ,

aber

(-2)*1+3*6≠1

Comments

ah shit ich hab grad gesehen, was mein Fehler war... ich hab in der Fragestellung die Anfangsmatrix falsch abgetippt.

sie heißt eigentlich:

A= \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Das war mein Fehler... Entschuldigung. :/

Vielleicht kannst dus dir jetzt nochmal anschauen? Dann ist meine Lösungsmenge schon richtig oder?

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Ich habe das gerade in der Ausgangsfrage korrigiert.

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Dankeschön :)

Answer 2

Aus der mittleren zeile folgt x1=-2 und führt mit den beiden anderen zum widerspruch.

das lgs hat keine lösung, bzw. die lösung ist  {}

Answer 3

Aloha :)

Vorsicht hier! Du sollst das Gleichungssystem in parametrischer Form lösen. Dazu musst du die Matrix-Gleichung zunächst in eine Parametergleichung umschreiben:

$$\left(\begin{array}{rr}-2 & 1\\3 & 0\\1 & 1\end{array}\right)\cdot\binom{x}{y}=\left(\begin{array}{r}7 \\ -6\\1\end{array}\right)\quad\Leftrightarrow\quad x\left(\begin{array}{rr}-2\\3\\1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{rr}1\\0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}7 \\ -6\\1\end{array}\right)$$

Jetzt erkennst du ohne große Rechnung sofort, dass wegen der 2-ten Koordinate, \(x=-2\) sein muss. Dann lautet die Gleichung für die 3-te Koordinate:$$(-2)\cdot1+y=1\quad\Rightarrow\quad y=3$$Wir prüfen damit die Gültigkeit der Gleichung für die 1-te Koordinate:$$(-2)\cdot(-2)+3\cdot1=7\quad\checkmark$$Die Lösung ist also: \(\quad x=-2\quad;\quad y=3\).

Comments

Okay, vielen Dank, das habe ich jetzt verstanden.

Allerdings verstehe ich noch nicht ganz, wie man die Lösungsmenge in parametrisierter Form angeben soll, weil deine Lösungsmenge ist nun ja nicht in dieser Form.

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$$\mathbb L=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,|\,x=-2\,\land\,y=3\}$$

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okay, danke :)