Bestimmen Sie denjenigen Wert von t, für den e seinen kleinsten Wert annimmt, und beschreiben Sie die Bedeutung …

Question

Aufgabe:

Aus einer ehemaligen Abituraufgabe:

Betrachtet wird die Funktion e(t)=|(0,8 0,3 0,25) - (13 31,2 0) + t * ((48 286 0) - (-20 48 0))| und 0 < t < 0,145

Bestimmen Sie denjenigen Wert von t, für den e seinen kleinsten Wert annimmt, und beschreiben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang.

Problem/Ansatz:

Berechnete Gleichung für e(t) = | (-12,2 -30,9 0,25) + t * (68 238 0)|.

Das setze ich in die Formel für den Betrag ein, sprich \( \sqrt{x² +y²+z² } \).

Dann suche ich t für e'(t) = 0, allerdings wird die Rechnung unfassbar kompliziert. Gibt es hier einen Trick?

Answer 1

Wenn  \( \sqrt{x² +y²+z² } \) minimal werden soll, ist auch x²+y²+z² selbst minimal.

Leite also nicht e(t) ab, sondern die quadratische Funktion (e(t))².

Comments

Grund : Die Nullstellen der Ableitung f ' von f mit f(x) = √g(x) sind wegen f '(x) = g'(x)/(2√g(x)) dieselben wie die von g' .

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Absolut! Dass ich da nicht drauf gekommen bin... Vielen Dank!

Answer 2

g(t) = (13 31,2 0) + t * ((48 286 0) - (-20 48 0))

beschreibt ja die Gerade durch (13 31,2 0)

parallel zur Geraden durch (48 286 0) und (-20 48 0).

und e(t)=|(0,8 0,3 0,25)- g(-t)| würde dann die

Entfernung eines Geradenpunktes zum Punkt (0,8 0,3 0,25)

angeben. Du kannst also auch die

Ebene durch (0,8 0,3 0,25)mit Normalenvektor (48 286 0) - (-20 48 0)

mit g schneiden und bekommst den Lotfußpunkt.

Dessen Entfernung zu (0,8 0,3 0,25) ist das Min. von e(t).

Answer 3

Also den einfachsten Trick, den ich für so einen Fall kenne, geht wie folgt:

Sei \(v= \begin{pmatrix}-12.2 \\ -30.9 \\ 0.25 \end{pmatrix}\) und \(d= \begin{pmatrix}68 \\ 238 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Dann haben wir also die Gerade \(g:\: v+td\).

Gesucht ist der Abstand der Geraden g vom Koordinatenursprung \(O\). Jetzt kommt Pythagoras:

\(d^2(O,g) = |v|^2 - \frac{|v\cdot d|^2}{|d|^2} = v\cdot v - \frac{|v\cdot d|^2}{d\cdot d}\)

Einfach mal aufmalen: \(v\cdot \frac{d}{|d|}\) ist die orthogonale Projektion von \(v\) auf die Richtung \(d\).

Das Ergebnis ist \(d(O,g) \approx 3.25133\). Das ist das Minimum von \(e(t)\).

Rechnung ist hier.