Kann mir wer bei linearer Geometrie helfen? Parameterform der Geradengleichung. 3-dim.

Question

Ich brauche bitte eure Hilfe bei der Lösung dieses Beispieles!

Geraden im Raum. Überprüfen Sie jeweils die Lagebeziehung (parallel, übereinander, sich schneidend oder windschief?) der folgenden Paare von Geraden:

(a) g : X = (2; 1; 5) + t(1; 4; 4) und gR:S mit R = (2; 3; 3) und S = (6; 11; 9).

(b) gP v und gQw für P = (1; 2; 1), Q = (1; 1; 3), v = (1; 3; 2) und w = (1; 3; 0)

Answer 1

(a) g : X = (2; 1; 5) + t(1; 4; 4) und gR:S mit R = (2; 3; 3) und S = (6; 11; 9).

RS = S - R = (4; 8; 6)

Der Richtungsvektor ist zu (1; 4; 4) nicht linear abhängig, deswegen windschief oder Schnittpunkt.

2 + t = 2 + 4s

1 + 4t = 3 + 8s

Das LGS liefert die Lösung s = 1/4 ∧ t = 1

5 + 4t = 3 + 6s

5 + 4 = 3 + 6/4

9 != 4,5

Damit gibt es keinen Schnittpunkt und die Geraden sind windschief.

 

(b) gP v und gQw für P = (1; 2; 1), Q = (1; 1; 3), v = (1; 3; 2) und w = (1; 3; 0)

v und w sind nicht linear abhängig daher Schnittpunkt oder Windschief.

1 + 1r = 1 + 1w

2 + 3r = 1 + 3w

 

Das LGS liefert keine Lösung. Damit gibt es keinen Schnittpunkt und die Geraden sind Windschief.

 

Answer 2

(a) g₁ : X = (2; 1; 5) + t(1; 4; 4) und

gR:S mit R = (2; 3; 3) und S = (6; 11; 9).

d.h.g₂: X = (2;3;3) + t (4;8;6)

Bemerkung g₁ und g₂ sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine reellen Vielfachen voneinander sind.

Um festzustellen, ob sich die Geraden schneiden oder ob sie windschief sind, kann man schauen ob die beiden Richtungsvektoren zusammen mit dem die Stützpunkte der Gerader verbindenden Vektoren ein Spat vom Volumen ≠ 0 aufspannen. (≠0 wäre windschief, =0 heisst, dass sie sich schneiden).

                1          4             0

Det (        4          8           2     )            = -16 + 32 + 0 - 0 - 12 + 32 = 16 +20 = 36 ≠ 0 → windschief

               4            6          -2

 

(b) g₃ P v und g₄ Qw für  P = (1; 2; 1), Q = (1; 1; 3), v = (1; 3; 2) und w = (1; 3; 0)

wiederum nicht parallel, da v und w keine reellen Vielfachen voneinander sind.

                1         1           0

Det (       3         3          -1       )  = 6 -2 +0 - 0 - 0 -6 = -2 ≠ 0 → windschief

               2          0          2

 

Rechne das nochmals genau nach. Eigentlich sollten bei Übungen schon mal noch andere Beispiele vorkommen als nur windschiefe Geraden.

Comments

da ist ein Fehler in der Angabe unterlaufen :S die Angabe lautet :

 

Geraden im Raum. Überprüfen Sie jeweils die Lagebeziehung (parallel, übereinander, sich schneidend oder windschief?) der folgenden Paare von Geraden:

(a) g : X = (2; -1; 5) + t(1; 4; -4) und gR:S mit R = (2; 3; 3) und S = (6; 11; -9).

(b) gP v und gQw für P = (1; 2; -1), Q = (1; -1; 3), v = (1; 3; 2) und w = (1; 3; 0)

die negativen Vorzeichen haben gefehlt

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Das ist jetzt eine gute Übung für dich.

Wenn du begriffen hast, was wir machen, kannst du's bestimmt selbst. ;-)

Oder?

Da kommt vielleicht schon mal noch ein anderer Fall vor.

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ich habe es jetzt nochmal durchgerechnet, mit der richtigen Angabe und das zweite ( also b) ist nicht windschief, kann das stimmen ?

, war schon kurz vorm verzweifeln!

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(b) gP v und gQw für P = (1; 2; -1), Q = (1; -1; 3), v = (1; 3; 2) und w = (1; 3; 0)

Also: parallel sind v und w nicht.

Nun die Determinante

               1          1      0

det  (       3         3      -3   )           =12 - 6 +0 - 0 +0 -12 = -6  ≠0 wäre immer noch windschief

                2         0       4

 

Hast du auch diese Determinante berechnet oder mit dem Verfahren von Mathecoach gleich den Schnittpunkt ausgerechnet?

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ich hab gleich den Schnittpunkt ausgerechnet, aber ich versuche es jetzt nochmal mit diesem Verfahren

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Ok. Wenn du einen Schnittpunkt hast, habe ich mich irgendwo verrechnet oder wir lösen immer noch nicht exakt dieselbe Aufgabe.