Abbildungen von einer in die andere Menge.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Mengen A = {2,3,4,5} und B = {2,3,4,5,6,7}. Wie viele Abbildungen von A nach B gibt es, für welche die Zielmenge (Bildmenge)

a.) genau 4 Elemente hat,

b.) genau 2 Elemente hat,

c.) 1-elementig ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe schon versucht den Teil c.) und a.) zu lösen und kam auf Folgendes:

c.) Ich habe mir einige Mengenbilder gezeichnet und bin einfach die Möglichkeiten durchgegangen bei denen jedes Element aus der ersten Menge auf das selbe Element in der Zielmenge abgebildet wurde.

-> Da die Menge B ja 6 unterschiedliche Elemente beinhaltet müsste es somit ja auch 6 unterschiedliche Abbildungen geben bei denen die Zielmenge 1-elementig ist.

a.) Hier habe ich versucht ebenfalls kombinatorisch vorzugehen und kam auf 24 mögliche Abbildungen welche eine Bildmenge mit genau 4 Elementen produzieren.

Ich bin mir allerdings nicht sicher ob ich kombinatorisch richtig vorgegangen bin. Gibt es eventuell eine elegantere Möglichkeit die Aufgabe anzugehen?

Würde mich über Anregungen und mögliche Hilfestellungen freuen.

Answer 1

zu a) ist es doch so:

Bildmenge hat 4 Elemente ( Def.menge auch) also ist die Abbildung injektiv.

Für jede 4-elementige Teilmenge von B gibt es 4! verschiedene Abbildungen

durch Permutation der Bilder. Und 4-elemntige Teilmengen

von B gibt es  "6 über 4 " = 6*5 / (1*2) = 15

15 * 4! = 360

c) Hier finde ich deine Überlegung richtig.

b) würde ich so überlegen:

Wenn die Bildmenge 2 Elemente a,b hat, gibt es die beiden

Möglichkeiten:

x) 3 werden auf a abgebildet und einer auf b  oder

y) 2 auf a und 2 auf b       oder

z) 1 auf a und 2 auf b .

dabei muss (a,b) ein Paar mit 2 unterschiedlichen Komponenten sein.

Solche Paare gibt es in BxB genau 6*6-6 = 30 Stück.

Und zu jedem Paar (a,b) gibt es von der Sorte x  4 Abbildungen

bei y nur eine und bei

z wieder 4. Das wären zu jedem Paar 9, also insgesamt

30*9 = 270 Abbildungen.

Comments

Wäre es nicht auch hilfreich für Teil a.) und b.) einfach die Potenzmenge von B zu bilden? Diese müsste ja dann alle möglichen Teilmengen auflisten. Dann könnte man sich einfach die gewünschten Teilmengen rausnehmen oder ist meine Überlegung falsch?

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Würde man nach genau 3 Elementen suchen müsste man ja wieder ähnlich wie bei der a.) vorgehen:

... von B gibt es "6 über 3 " = 20, also 20 * 3! = 120

-> Also müsste es für "genau 3" 120 verschiedene Abbildungen geben.

Ist meine Überlegung richtig?

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Wäre es nicht auch hilfreich für Teil a.) und b.) einfach die Potenzmenge von B zu bilden?

Im Prinzip ja, aber das sind 2^6 = 64 Stück. Da kann es schnell unübersichtlich werden.

Also müsste es für "genau 3" 120 verschiedene Abbildungen geben.

Ist meine Überlegung richtig?  Ich finde: Ja !

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Super danke.