Hallo, ich wollte mich lediglich einer Sache vergewissern, wollte einmal fragen, ob es diese Konvention gibt in der "⇒" als "⊆" verwendet wird und "⇐" als "⊇". Ich weiss jetzt nicht, ob ich die jetzt richtig zugeordnet habe, aber sollte ich das gemacht haben, dann verwirrt mich an der stelle die Verwendung der Symbole ⊇ und ⊆ in dem Kontext des Folgenden Beweises, den ich gefunden habe. Ich tue den Beweis mal mit rein, obwohl der für meine Frage nicht Relevant ist, aber um den Kontext zu verstehen, damit mir vielleicht einer erklären kann, wieso die Symbole so verwendet worden sind bzw, ob die nicht falsch verwendet worden sind unter der Annahme, dass ich die Symbole richtig zugeordnet habe. Eigentlich sind nur die Kursiv/dicken stellen relevant.
$$\begin{array}{l}\text { Sei } f: A \rightarrow B \text { eine Abbildung. Es sind äquivalent: } \\ \text { i) } f \text { ist injektiv } \\ \text { ii) } f(S \cap T)=f(S) \cap f(T) \quad \forall S, T \subset A \\ \text { iii) } f^{-1}(f(T))=T \quad \forall T \subset A\end{array}$$
Lösung:
i) ⇒ ii) : ⊆: klar (VL)
⊇: Sei y ∈ f(S) ∩ f(T) ⇒ ∃ x ∈ S, x′ ∈ T so dass f(x) = y = f(x) ⇒ x = x, weil f injektiv. Also ist y ∈ f(S ∩ T)
⊇: Sei y ∈ f(S) ∩ f(T) ⇒ ∃ x ∈ S, x′ ∈ T so dass f(x) = y = f(x) ⇒ x = x, weil f injektiv. Also ist y ∈ f(S ∩ T)
-müsste nicht dieses Symbol sein '⊆' und nicht wie in der Zeile drüber '⊇', weil ja von i) ⇒ ii) gezeigt wird?
-und bedeutet VL möglicherweise Vorlesung als Verweis darauf da bei i)?
-Wenn i)⇒ii) angeblich klar sei, warum wird es dann Trotzdem in die Richtung bewiesen und dann auch noch mit dem Symbol ⊇, was für mich bedeutet, dass man ii) voraussetzt um i) zu zeigen?
ii) ⇒ iii) : ⊇: klar (VL)
⊆: Sei x ∈ f−1(f(T)) ⇒ ∃ x ∈ T so dass f(x) = f(x). Sei nun S = {x} und T = {x} ⇒f({x} ∩ {x}) ̸= ∅ ⇒ x = x ∈ T
iii) ⇒ i) : Seien x, x′ ∈ A mit f(x) = f(x). Dann ist {x} ⊂ A und {x} ⊂ A. Nach Voraussetzung gilt dann:
{x} = f−1(f({x})) = f−1(f({x})) = {x} also x = x'
