Analysis 1 & Mengenlehre (Studium)

Question

Aufgabe 1 (Aussagenlogik):

Zeigen Sie, dass die folgenden aussagenlogischen Formeln Tautologien sind (d.h. immer wahr, unabhängig vom Wahrheitswert der Elementaraussagen \( A, B \) ).

a) \( (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A) \).
b) \( ((\neg A) \Rightarrow(B \wedge \neg B)) \Rightarrow A \)

Aufgabe 2 (Mengen):

Gegeben seien drei Mengen \( A, B, C \) (alle Teilmengen einer Menge \( M \) ). sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? (Begründen Sie mit Beweis oder Gegenbeispiel)

a) \( (A \cup B) \cap C=(A \cap C) \cup(B \cap C) \)
b) \( (A \cup B) \cap A^{\mathrm{c}}=B \)
c) \( A \cup B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \cup(A \cap B) \)

Aufgabe 3 (Mengen und Abbildungen):

Seien \( X, Y \) und \( Z \) Mengen und seien \( f: X \rightarrow Y \) und \( g: Y \rightarrow Z \) Abbildungen. Sei \( g \circ f: X \rightarrow Z \) surjektiv. Ist \( g \) surjektiv? Ist \( f \) surjektiv? Begründen Sie Ihre Antwort durch Beweis oder Gegenbeispiel.

Aufgabe 4 (vollständige Induktion):

Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen \( n>0 \) :
(a) Die Zahl \( 11^{n}-4^{n} \) ist durch 7 teilbar.
(b) \( \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{n+1} \)

Comments

Statt einen Aufgabenzettel hier zu veröffentlichen, empfehle ich, den zugehörigen Stoff zu recherchieren und so weit zu verstehen, wie es zum Lösen der Aufgaben erforderlich ist.

Answer 1

Hey wir sind im ersten Semester und kommen bei Analysis 1 noch nicht ganz zurecht. Kann uns jemand weiterhelfen und erklären?

Du sprichst hier von "wir" in der Mehrzahl. Erstmal ist es schön das ihr Lerngruppen bildet. Trotzdem sollte eine Lerngruppe aus einer inhomogenen Gruppe bestehen wo jeder stärken und schwächen hat aber wenigstens einer in der Gruppe sollte dabei wenigstens eine grundlegende Ahnung haben wie man an wenigstens eine der Aufgaben herangeht.

1. Wenn man nachweisen soll, das eine Aussage eine Tautologie ist, dann soll gezeigt werden, dass sie immer wahr ist. Das steht sogar direkt in der Aufgabe. Damit braucht man den gegebenen Ausdruck nur Vereinfachen bis am Ende der Vereinfachung wahr steht.

Und weil ihr hier neu seid eine kleine Regel. Es sollte zu jeder eigenständigen Frage ein neuer Beitrag geschrieben werden, damit euch auch effektiv geholfen werden kann und nicht alles durcheinander geht.

Also wenn du konkrete Fragen zu Aufgabe 1 hast, dann stell die hier gerne. Für die Aufgaben 2 bis 4 mache bitte einen eigenständigen Beitrag.

Allerdings wäre es schön, wenn ihr das entsprechende Grundwissen im Skript oder einem Buch nachlest und dann konkrete Fragen stellt.

Answer 2

b)
$$\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{n+1}$$

Induktionsanfang

$$\sum \limits_{i=1}^{1} \frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{1*(1+1)}=\frac{1}{(1+1}$$

Induktionsannahme

$$\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{n+1}$$

$$\sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i(i+1)}=$$$$\frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}=$$

$$\frac{n(n+2)}{(n+1)*(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

$$\frac{(n+1)^2}{(n+1)*(n+2)}=\frac{(n+1)}{(n+1)+1}$$

Induktionsschluss