Funktion 4 Grades bestimmen

Question

Aufgabe: Bestimmen sie die Funktionsgleichung von F

- Achsensymmetrie

- verläuft durch Punkt (0/6)

-verläuft dich Punkt (5/0)

- x=5 waagerechte Tangente

Problem/Ansatz:

… ich habe die Gegebenheiten in die Funktion/ Ableitung eingesetzt weiß allerdings num nicht weiter ...

F(x)= ac^4 + cx^2 + 6 = 0

F‘(x)= 4ax^3+2cx= 0

F(5)= ac^4 + cx^2 +e=0

Erklärung wäre super :))

Answer 1

Hallo,

e= 6 ist schon mal richtig.

$$f(x)=ax^4+cx^2+6\\f'(x)=4ax^3+2cx\\$$

waagerechte Tangente bei x = 5

Du setzt in die 1. Ableitung für x die 5 ein und die Gleichung = 0

$$500a+10c=0 $$

Jetzt musst du noch den zweiten Punkt verarbeiten, indem du für x die 5 in die Ausgangsgleichung einsetzt und diese Gleichung auch = 0

$$2500a+25c+6=0\\2500a+25c=-6$$

Jetzt hast du noch zwei Gleichungen für die Unbekannten a und c. Dieses Gleichungssystem kannst du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen. Ich würde das Additionsverfahren nehmen.

Wenn du dazu noch Fragen hast, melde dich bitte wieder.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank schon einmal, mit ist nur nicht ganz bewusst wie ich das ins Additionsverfahren einbringe :/ einfach untereinander schreiben und ausrechen?

Liebe Grüße

Hanna

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Multipliziere die 1. Gleichung mit (-5) und addiere sie zur zweiten

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Moment, ich habe mich irgendwo vertan...

Der Fehler ist in der 2. Gleichung, die richtig lautet

625a + 25c = -6

Löse jetzt zum Beispiel die 1. Gleichung nach c auf

500a + 10c = 0

c = -50a

Setzte -50a für c in die 2. Gleichung ein und löse nach a auf.

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Sind die Ergebnisse nun -6;-12 und 6?

Diese Aufgabe überfordert mich ://

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625a + 25·(-50a) = -6

625a - 1250a = -6

-625a = -6

a = \( \frac{6}{625} \)

c= -50 · \( \frac{6}{625} \) = -\( \frac{12}{25} \)

$$f(x)=\frac{6}{625}x^4-\frac{12}{25}x^2+6$$

Jetzt klar?

f(x)=\frac{6}{625}x^4-\frac{12}{25}x^2+6

Answer 2

$$F(x)= ax^4 + cx^2 + 6 $$$$F‘(x)= 4ax^3+2cx$$$$F(5)= a5^4 + c5^2 +6=0$$$$F‘(5)= 4*5^3+2c5=0$$$$625a+25c+6=0$$$$300a+10c=0$$$$c=-30a$$$$625a-750a+6=0$$$$6=125a$$$$a=0,048$$$$ c=-1,44$$$$F(x)=0,048x^4-1,44x^2+6$$$$F‘(x)=0,192x^3-2,88x$$

Answer 3

- x=5 waagerechte Tangente

... soll sicher heißen: bei x=5 eine waagerechte Tangente?

Alternativer Ansatz für Fortgeschrittene:

Die Achsensymmetrie dieser Funktion impliziert

- auch bei x=-5 eine waagerechte Tangente

- im Schnittpunkt mit der y-Achse ebenfalls eine waagerechte Tangente.

Die erste Ableitung besitzt also die Nullstellen -5, 5 und 0 und lässt sich somit in der Form

f'(x)=k*x*(x-5)(x+5)=k*x³-25kx darstellen.

Die Funktion selbst hat dann die Form

f(x)=\( \frac{k}{4}x^4- \frac{25k}{2}x^2 + c\).

Wegen

- verläuft durch Punkt (0/6)

gilt c=6, und wegen

verläuft dich Punkt (5/0)

gilt \( 0= \frac{625k}{4}- \frac{625k}{2} + 6\).