Question

Aufgabe: Wie kommt man auf die Rechte Seite der Gleichung ? $$1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2=\frac{(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n+1)}{6}$$

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist wie ich selbständig auf die Rechte Seite kommen könnte ohne diese vorher gegeben zu haben ?

Answer 1

Meine Frage ist wie ich selbständig auf die Rechte Seite kommen könnte ohne diese vorher gegeben zu haben

Versuche, besonders auffällige Zahlen in Faktoren zu zerlegen und darin Gesetzmäßigkeiten zu finden.

1=1*1

10=2*5

35=5*7

84=7*12

165=15*11

286=11*26

455=13*35

Du hast (rot hervorgehoben) fast eine Folge von aufsteigenden ungeraden Faktoren, deren Regelmäßigkeit an jeder 3. Stelle unterbrochen ist:

1 _  5  7 _ 11  13

Es wäre doch perfekt, wenn in den Lücken auch noch eine 3 bzw. eine 9 stehen würde.Um das zu erreichen, erweitern wir einfach jedes Produkt mit 3:

1=1*1*3 /3
10=3*2*5/3
35=5*7*3/3
84=7*12*3/3
165=15*11*3/3 = 9*11*5/3 (Hier wurde 15 in 5*3 zerlegt und der Faktor 3 mit der anderen 3 zu 9 gemacht)

286=11*26*3/3
455=13*35

Die roten Faktoren sind jetzt tatsächlich 1 3  5  7 9 11  13 und lassen sich mit 2n-1 beschreiben. Betrachten wir den ungefärbten Restfaktor:

(1*3)/3

(2*5)/3

(3*7)/3

Der erste Faktor ist offensichlich n, der zweite Faktor 2n+1.

Damit hast du insgesamt  das Produkt (2n-1)*n*(2n+1)/3

Comments

Danke :)

Ist diese vorgehensweise analog übertragbar auf ähnliche Probleme?

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Versuchen kann man es zumindest.